2 Денежные лотереи и отношение к риску.

Лотереи, исходами которых являются не потребительские наборы, а денежные суммы, называются денежными лотереями. Сумму денег удобно рассматривать как непрерывную переменную, характеризуя ее посредством функции распределения. Такую лотерею можно описать посредством функции распределения F(x) = prob(х̅ x) , т.е. как вероятность того, что случайная величина х̅ примет значение меньшее или равное х. В этом случае функция ожидаемой полезности примет вид U(F) = . Функцию U , определяемую на лотереях, мы называем функцией полезности фон Неймана –Моргенштерна, а функцию u(x), зависящую от суммы денег (богатства), принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли. Далее будем считать, что u(x) – непрерывная, возрастающая функция.

Классификация агентов по степени принятия риска:

1) Будем говорить, что индивид не склонен к риску, если любая лотерея F∊ для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи, полученного с определенностью. Если индивидуум строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее, то говорят, что он строго не склонен к риску или он является рискофобом. Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то несклонность к риску означает, что любой функции распределения выполняется соотношение U(F) = u( .

Вогнутая функция полезности индивида, не склонного к риску

Форму функции полезности можно объяснить интуитивно принимаемой предпосылкой об убывании предельной полезности от каждой дополнительной единицы «призовых» денег (т.е. богатства) по мере укрупнения выигрыша. Бросок монеты в 1000 руб. золотом сулит вам сравнительно небольшой прирост полезности при выигрыше, но зато сильное ее снижение при проигрыше. Напротив, ставка в 5 руб. в этом смысле несущественна: прирост полезности при выигрыше и ее уменьшение при проигрыше практически уравновешивают друг друга.

2)Будем говорить, что индивидуум нейтрален к риску, если он всегда безразличен между лотерей и ее ожидаемой величиной, полученной с определенностью. Нейтральность к риску означает равенство ожидаемой полезности и полезности от ожидаемого выигрыша U(F) = = u( для любой F, что соответствует линейности u(x).

3)Будем говорить, что индивидуум склонен к риску, если он предпочитает любую лотерею F ее ожидаемому выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее ожидаемой величине, то говорят, что он является рискофилом. Если предпочтения индивидуума представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то склонность к риску означает, что для любой функции распределения F() выполняется соотношение U(F) = u( .

Выпуклая функция полезности индивида, склонного к риску

Поведение подобных индивидов можно объяснить предпосылкой не об убывании, а о росте предельной полезности богатства.

Денежные эквиваленты лотереи F() будем называть сумму денег c(F) (полученную с определенностью), приносящую индивиду такую же полезность, как и данная лотерея

u(c((F)) = u( .

Для агента несклонного к риску, денежный эквивалент лотереи не превышает ожидаемой величины этой лотереи: c(F) = для любой F().

Премией за риск для индивида, обладающего лотерей F() будем называть разницу между ожидаемым выигрышем лотереи и ее денежным эквивалентом: (F) =

Рискофоб предпочитает текущий уровень богатства ему же, но в сочетании со справедливой игрой, т.е. откажется от участия в справедливой игре. Причина такого отказа состоит в том, что для этого индивида выигрыш в размере h руб, значит меньше, чем проигрыш в том же размере.

При выборе же из двух справедливых игр он предпочел бы ту, в которой ставки ниже. Последнее объясняется серьезностью потерь полезности по сравнению с незначительностью ее прироста при крупной игре и примерной одинаковостью указанных изменений полезности данного индивида при низких ставках.

Следствием таких предпочтений является готовность не склонного к риску индивида заплатить определенную сумму денег, чтобы совсем не участвовать в игре. Как видно из рисунка, существует некий уровень богатства , приносящий индивиду ту же полезность, что и участие в игре 1. Поэтому он будет готов уплатить любую сумму в размере, не превышающем W* — , чтобы избежать участия в игре. Этим объясняется существование рынка страховых услуг: люди готовы заплатить небольшую и вполне определенную страховую премию, чтобы избегнуть рискового исхода, от которого они страхуются.

На рисунке W* обозначает текущий уровень богатства индивида, a U(W) — функцию полезности фон Неймана—Моргенштерна, отражающую полезность для него разных уровней богатства. Индивиду предлагается участие в двух типах справедливой игры: с вероятностями 0,5/0,5, соответственно, выигрыш или проигрыш в размере h руб. (игра 1) или 2/h руб. (игра 2).

Ожидаемая полезность игры 1 есть:

а ожидаемая полезность игры 2 есть:

Как видно из геометрии рисунка,