2.10.Сформулювати основні теореми закону великих чисел: а) Бернуллі; б) Чебишова. Пояснити значення цих теорем для практики

Теорема Бернуллі:

Нехай імовірність появи події А в кожному із n незалежних повторних випробувань дорівнює р,m – число появ подій А (частота події) в n випробуваннях. Тоді

.

Теорема Чебишова:

Нехай Х1,Х2,…, Хn – попарно незалежних випадкових величин, які задовольняють умовам

1)М(Хі)= аі, 2) D(Хі)≤с

Для усіх і= 1,2, …, n.

Тоді

Центральна гранична теорема.:

Нехай задана послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин Х1,Х2,…, Хn, М(Хі)=0, D(Хі)=b,і=1,2,… .

Розглянемо випадкову величину Yn= . Тоді

М(Yn)= ,

При функція розподілу

,

Тобто сума Yn буде розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням 0 та дисперсією

2.11 Сформ. Центр. Гран. Теор. У формі Леві –Ліндеберга

Центральна гранична теорема.:

Нехай задана послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин Х1,Х2,…, Хn, М(Хі)=0, D(Хі)=b,і=1,2,… .

Розглянемо випадкову величину Yn= . Тоді

М(Yn)= ,

При функція розподілу

,

Тобто сума Yn буде розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням 0 та дисперсією

Інтегральна Лапласа:Я якщо при проведенні випробувань за схемою Бернулі число випробовувань достатньо велике(прямує до нескінченності) а імовірність суттєво відрізняється від 0 та 1,То імовірність того, що наша подія настане: Pn(k1<=k0<=k2)=Ф(x2)- Ф(x1)=(k1-np)/ √npq. Ф(x)=∫0x φ(t)dt - інтегральна лапласа.

2.12.Дати означення:а) системи випадкових величин (с.В.В.); б) закону розподілу дискретної двовимірної випадкової величини (д.Д.В.В.). Навести приклади.

Двовимірною наз., випадкову виличину (Х,У), можливі значення якої є пари чисел (х,у). Складові Х,У образують систему двох випадкових величин.

Двовимірну величину геометрично можна пояснити як випадкову точку М(Х,У) на площині хОу або як випадковий вектор ОМ.

Дискретна наз., двовимірна величина складові якої дискретні.

Неперервной наз., двовимірна величина складові якої неперервні.

Закон розподілу імовірностей двовимірної випадкової величини наз., відповідність між можливі значення і їх імовірностями .

Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини наз., перечень можливих значень величини , тобто пара чисел (x_i , y_i) та їх імовірності p(x_{i ,}y_i)

(i=1,2 …., n; j=1,2…,m). Частіше всього закон розподілу задають у вигляді таблиці з подвійним входом. Перша строка таблиці містить всі можливі значення складової Х, а перший стовпець містить всі можливі значення складової Y. У клітинці вказана імовірність p(x_i,y_i) того,т що двовимірна випадкова величина прийме значення (x_i,y_i). Так як ці події (Х=х_i , Y=y_i )

(i=1,2…, n; j=1,2…,m) утворюють повну групу, то сума імовірностей, розташованих во всіх клітинках таблиці = 1.ПРИКЛАД :Нехай станок штампує сталеві плитки , контрольними розмірами яких є довжина (Х) і ширина (У), тоді система цих параметрів утворює двовимірну випадкову величину.Якщо є і параметр висоти , то система утворює трьовимірну випадкову величину.

Системою випадкових величин Х1, Х2,...,Хn називають сукупність цих ВВ, які вивчаються або розглядаються одночасно(СВВ).(Х;У), (Х;У;Z)...

Систему n ВВ (Х1, Х2,...,Хn) можна розглядати як випадкову точку в n-вимірному просторі з координатами (Х1, Х2,...,Хn) або як випадковий вектор, напрямлений з початку координат у точку М (Х1,Х2,...,Хn)

Законом розподілу ДДВВ називається перелік можливих значень цієї величини (хі, уk) та їх імовірностей р(хі, уk), і=1,2,..., n; k=1,2,...,m

Н айбільш часто закон розподілу ддвв задають у вигляді таблиці з двома входами.

У		Х
		х1	х2			…	xn
у1		p(x1,y1)	p(x2,y1)			…	p(xn,y1)
y2		p(x1,y1)	p(x2,y1)			…	p(xn,y1)
…		…	…			…	…
Ym		p(x1,ym	p(x2,ym)			…	p(xn,ym)

У	Х
	х1	х2	x3
у1	0.1	0.3	0.2
y2	00.1	0.18	0.16

Х		х1		х2		x3
Р		0,16		0,48		0,36
У	у1		у2
Р	0,6		0,4