2.5. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.
Математичне сподівання в.в. Х характеризує середнє значення Х із врахуванням ймовірностей його можливих значень. В практичній діяльності під математичним сподівання розуміють центр розподілу в.в.
Дисперсія характеризує розсіювання можливих значень Х відносно центру розподілу в.в.
Середнє квадратичне відхилення випадкової величини характеризує величину розсіювання в.в. в розмірності цієї величини.
Асиметрія характеризує симетричний чи асиметричний розподіл та правосторонній чи лівосторонній.
Ексцес характеризує плосковерхість чи гостроверхість розподілу, порівняно з нормативним розподілом з тим же значенням дисперсії .
При графічному способі зображення закону розподілу в.в., значення в.в. імовірність якого найбільша, називають модою (М0).
Медіана (Ме)— це середина відрізку між математичним сподіванням та модою.
2.6. Сформулювати основні властивості математичного сподівання і дисперсії.
Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній М(С) = С.
Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання М(СХ)=С*М(Х).
Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних дискретних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто М(Х1*Х2*…*Хn) = М(Х1)*М(Х2)*…*М(Хn).
Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто М(Х1+Х2+…+Хn ) = М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn)
Основні властивості дисперсії.
1)Дисперсія будь-якої ДВВ Х невід’ємна
Дійсно, (Х – М(Х))2 невід’ємна, тому згідно означення математичного сподівання та властивостей pk , k =1,2, … , n , D(X) також невід’ємна.
2)Дисперсія постійної величини С дорівнює нулеві
D(X) = 0
Дійсно, якщо Х=С, то М(С)= С, тому С – М(С) = 0
3)Постійний множник С можна виносити за знак дисперсії, при цьому постійний множник треба піднести у квадрат
D(СX) = С2 D(X).
Дійсно, СХ – М(СХ) = С (Х – М(Х)), тому
(СХ – М(СХ))2 = С2 (Х – М(Х))2.
Постійний множник С2 можна виносити за знак математичного сподівання, тому з формули D(X) = М((Х – М(Х))2) випливає потрібна рівність D(СX) = С2 D(X).
4) Дисперсія ДВВ Х дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини Х та квадрата її математичного сподівання
D(X) = М(Х2) – (М(Х))2.
Дійсно, D(X) = М((Х – М(Х))2) = М(Х2 – 2ХМ(Х) + М2(Х)) = М(Х2) – 2М2(Х) + М2(Х) = М(Х2) - М2(Х).
5) дисперсія
алгебраїчної суми ДВВ Х та Y дорівнює
сумі їх дисперсій
.
2.7.Записати основні закони розподілу д.в.в.: а) біноміальний ; б)Пуассона; в)геометричний. Пояснити зміст позначень. Навести приклади д.в.в., розподілених за цими законами.
1. Біноміальний
2.Пуассона
3.Геометричний
.
4. Гіпергеометричний
Біноміальний закон розподілу.
Йм-ті в цьому законі визначаються за формулою P(X=m)=Cmnpm(1-p)n-m, m=0,1,2,…,n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з йм-тю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові х-ки закону: MX=np; DX=np(1-p).
Випадкова величина X називається розподіленою за законом Пуассона (або, що те саме, має пуассонівський розподіл) з параметром λ, якщо для неї виконується рівність:
Пуассонівський розподіл справедливий для подій, які мають малу ймовірність чи трапляються нечасто. Ним, наприклад, можна описати ймовірність того, що футболіст заб'є гол у конкретному матчі. Іноді футболіст забиває один гол, рідше два, ще рідше робить хет-трик, Пеле одного разу забив вісім. Найчастіше футболіст не забиває жодного.
Ймовірність забити k голів за гру визначається параметром λ, що є середньою кількістю голів, які забиває футболіст. Якщо λ велике число, то ймовірність має досягати максимуму при якомусь k. В такому випадку мова йде радше про баскетболіста, який може набирати, наприклад, 22 очка за гру в середньому. Тоді ймовірність набрати 2 очка буде малою. Ймовірність набрати 42 очка теж буде малою, а максимум ймовірності буде в районі саме 22 очок. Геометричний закон розподілу Р(Х=m)=pq , m=1,2,3… Геометр закон розп має частота настання події у схемі незалежних повторних випробувань, якщо вони проводяться до першого настання події. У ф-лі: р– йм-сть настання події в кожному випробу-ванні. Геометричний закон розподілу застосовуєть-ся у задачах статистичного контролю якості і теорії надійності. Числові х-ки: MX=1/p; DX=(1-p)/p2.