2.1. Дати означення випадкової величини (в.В.), дискретної (д.В.В.) та неперервної випадкої величини (н.В.В.). Навести приклади.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в наслідок втпробування, може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами.

Випадкові величини бувають дискретними та непевними.

Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати) з відповідними ймовірностями. Наприклад, кількість влучень у мішень при трьох пострілах буде Х: 0, 1, 2, 3. Отже, Х може приймати чотири ізольовані числові значення з різними ймовірностями. Тому Х — дискретна випадкова величина.

Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу (a, b). Кількість можливих значень такої величини є нескінченна.

Наприклад, величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; час безвідмовної роботи приладу; зріст людини; розміри деталі, яку виготовляє станок-автомат.

2.2. Дати означення закону та багатокутника розподілу ймовірностей д.В.В. Навести приклади.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули) .

Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки (хі, рі), а потім з’єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.

Задати закон розподілу д.в.в. — це задати рівність рk=Р(Х=хk), яку можна розглядати як функцію. Функція розподілу для дискретної випадкової величини має вигляд

Наприклад, умовами лотереї передбачено: 1 виграш—100 грн., 2—50 грн., 8—10 грн., 19—1 грн. Знайти закон розподілу суми виграшу власником одного лотерейного білету, якщо продано 1000 білетів. Будемо шукати закон розподілу у вигляді ряду розподілу.

Х	100	50	10	1	0
Р(Х)	0.001	0.002	0.008	0.019	0.97

Де р(0)=1-(0.001+0.002+0.008+0.019)=1-0.03=0.97

Це табличний спосіб задання функції.

А , якщо задавати графічно, то треба взяти прямокутну систему координат. На осі асцис будемо відкладати можливі значення ДВВ, а на осі ординат — відповідні значення імовірності. Одержимо точки з координатами (х1, р1), (х2, р2), …, (хn, pn).

Р

р3

р4

р2

р1

р5 Поєднавши ці точки прямими, одержимо графік у вигляді многокутника розподілу випадкової дискретної величини.

2.3. Дати означення інтегральної та диференціальної функції розподілу н.В.В. Довести їх основні властивості. Навести приклади з побудовою відповідних графіків.

Інтегральною функцією розподілу називають імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х. Функцію розподілу позначають F(x). Таким чином,

Якщо НВВ Х може приймати будь-яке значення з (a,b), то ,

тобто імовірність прийняття величиною Х значень з (a,b) дорівнює приросту функції розподілу.

Властивості інтегральної функції:

1)

2) — зростаюча функція, тобто , якщо ;

3)

Диференціальною функцією розподілу або щільністю імовірностей неперервної випадкової величини називають похідну першого порядку від її інтегральної іункції розподілу і позначають .

Властивості диференціальної функції:

1) , тому, що вона є похідною зростаючої функції ;

2) тому, що є похідною ;

3) тому, що подія — достовірна.

2.4. Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в) початкового і центрального моментів; г) асиметрії; д) ексцесу; е) моди; ж) медіани. Записати формулу для їх обчислення для д.в.в. та н.в.в.. Пояснити зміст букв.Навести приклади.

Математичним сподівання Х називають число, яке дорівнює сумі добутків можливих значень Х на відповідні їм імовірності.

М(Х) або mX —математичне сподівання ДВВ.

Якщо Х приймає нескінченну кількість значень, то

.

Математичне сподівання для НВВ обчислюється за формулою

Де ;

—певне значення Х; — імовірність того, що Х приймає значення

Дисперсія Х — це число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення в.в. від її математичного сподівання.

— дисперсія величини Х.

Обчислення дисперсії для ДВВ:

Обчислення дисперсії для НВВ:

Початковим моментом порядку k в.в. Х називають математичне сподівання величини Хk і позначають , k=1,2,…,n.

Центральним моментом порядку k в.в. Х називають математичне сподівання величини і позначають k=1,2,…,n.

Асиметрією або коефіцієнтом асиметрії називається величина

— центральний момент 3-го порядку

— середнє квадратичне відхилення

Якщо AS=0 (AS ), то розподіл симетричний (асиметричний);

Якщо AS>0 (AS<0), то асиметрія правостороння (лівостороння).

Ексцес в.в. характеризує плоско- чи гостроверхість розподілу, порівняно з нормативним розподілом з тим же значенням дисперсії.

. Якщо ЕХ>0 (ЕХ<0), то розподіл гостроверхий (плосеоверхий).

При графічному способі зображення закону розподілу в.в., значення в.в. імовірність якого найбільша, називають модою (М0).

Медіана (Ме)— це середина відрізку між математичним сподіванням та модою.