1.18. С формулювати граничні теореми у схемі випробувань Бернулі. А)Пуассона. Б) Локальну та інтегральну Лапласа.
Теорема Пуасона
Нехай
проводиться n випробувань, кожному з
яких ймовірність настання події А є
сталою величиною. Якщо кількість
випробувань прямує до нескінченності,
а ймовірність настання події А
,
то ймовірність того, що Р
(k)
,де
Зауваження
Якщо кількість випробувань n є дуже велике число n>1000, а р є дуже мале p<0,01, то
Р
(к)
Задача
Перевозиться 1000 пляшок від А до В. Імовірність того, що будь-яка пляшка розібьється =0,001. Знайти Р того, що під час перевезення розіб’ється тільки одна пляшка.
Р
(1)
Локальна теорема Лапласа(Муавра-Лапласса)
Якщо виконуються умови схеми випробувань Бернуллі:
-проводиться n випробувань,кожному з яких є стала і=р.
-при достатньо великих n ймовірність того,що n випробувань подія А з`явиться рівно к-раз.
Р
(k)
*
(х),
де х=
,
а
(х)=
*е
-називається локальною функцією
Лапласса.(
-парна)
Рівність є тим точнішою,чим більше випробувань n проведено.
Ф-я (х) має такі властивості:
1.Якщо х=0,то (0)= =0,3989( 0,4).
2.Якщо
х
,то
ф-я
(х)
.
3.Ф-я є парною ф-ю (-х)= (х)
Ф-я (х) є табульованою ф-єю,тобто значення ф-ї у певних точках міститься у відповідних таблицях.
Приклад.
У пологовому будинку нараховано 100 дітей,яка ймовірність того,що серед цих 100 дітей 60 хлопців. Якщо Р(А)=0,55
n=100.k=60.А= «народження хлопчика».Р=0,55.q=0,45
Р
(60)
Х=
=
=1
(1)
Зауваження:
Таке правило локальна теорема Лаппаса
використовується якщо кількість
випробувань n>50, а ймовірність р
0,
р
1.
Інтегральна теорема Лапласса
Якщо провести n випробувань і виконуються основні умови схеми випробуваня Бернуллі, то при достатньо великих n\
Р
може бути знайдено за наступною приблизною
рівністю
Р
Ф(х
)-Ф(х
),
де х
,
х
обчислюється так:
х
=
,
х
=
,
Ф(х)=
Властивості функції формули
Якщо х=0, то Ф(0)=0
х
:
Ф(Х)
0,5
x>5:Ф(Х) 0,5
3.Ф(-х)=-Ф(х)
Ф-я Ф є табульованою і значення цієї ф-ї у певних точках знаходиться у відповідних таблицях(табл. 2)
1.19.Записати формули для обчислення в схемі Бернулі: а)імовірності відхилення частоти від імовірності б)найбільш імовірного числа появи подій
Нехай проводиться випробовування за схемою Бернулі і виконуються умови теореми лапласа про значення р та n треба знайти хочаб наближено імовірність того,Що відхилення (частість)(відносна частота)m/n від постійної імовірності р не перевищує заданого числа ε>0. за допомогою нерівності|m/n-p|<= ε а також користуючись інтегральною теоремою лапласа отримаємо p={|k/n-p|< ε }= Ф(-ε√n/pq)+ Ф(-ε√n/pq)=2 Ф(-ε√n/pq). За формулою Бернулі: Pn(k0)=n!/(k0(n-k0))!*pk0q(n-k0)
1)якщо число(n+1)p натуральне, то згачень 2. а)k0'=(n+1)p або б) k0'=(n+1)p-1
2)Припустимо (n+1) p-дробове число, тоді k0=цілій частині цього числа k0=[ (n+1)p]
Приклад: Припустимо що частина курсантыв що вчаться без 3-70%, р=0,7-курсант без 3.Знайти найбыльшу ымовырнысть Р(А) курсантыв що вчаться без 3. n=250. (n+1)p=251-0,7
K0=[251*0.7]=175