2.17.Вивести формули для знаходження:а)законів розподілу;б)умовних законів розподілу складових дискретної с.В.В. Навести відповідні означення та функції.

а)1. Біноміальний

2.Пуассона

3.Геометричний

.

4. Гіпергеометричний

2.18. Ф-ли для знаходження ф-ції розподілу та щільності ймовірностей складних с-м ВВ.

Функцією розподілу ймовірностей С.В.В. наз. така функція двох змінних F (x, y) , що її значення в кожній в.в. точці дорівнює F (x, y) = P(X<x; Y<y)

Функція щільності розподілу наз. другу змішану похідну від функцію розподілу:

f (x, y) = 2 F (x, y)/ x y.

2.19. Дати означення основних числових характеристик с.в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в) початкового та центрального моментів; г) асиметрії; д) ексцесу; е) моди; ж) медіани. Записати формулу для їх обчислення для д.в.в. та н.в.в.

а) Мат., сподівання:1) д.в.в. M[X] = m_x=∑x_ip_i;

2)н.в.в. M[X]= ;

б) Дисперсія :1)д.в.в. D[X]=(x_i-m_x)²P_i;

2) н.в.в.D[X]=

в) початкового та центрального моментів: 1) початковим моментом порядка k випадкової величини X наз математичним сподівання величини X^k: У часному випадку початковий момент першого порядку = мат.,сподіванню . 2) Центральним моментом порядка k випадкової величини Х наз., мат., сподівання величини [X-M(X)]^k:

г) Асиметрія m₃ - центральний епмпіричний момент третього порядка. Використовується для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального .

д) Ексцесс m₄- центральний емпіричний момент четвертого порядку.

е) Мода-М₀ наз., варіанту ,яка має найбільшу частоту

ж) Медіаной М_е- наз., варіанту ,яка ділить варіаційний ряд на дві частини , рівні по числу варіант .

2.20. Навести основні властивості кореляційного моменту μxy та коефіцієнту кореляції rxy

Кореляційний момент служить для характеристики звязку між величинами X і Y. КМ дорівнює нулю, якщо X і Y незалежні; отже,якщо КМ не дорівняє нулю, то X і Y – залежні случайні величини.

Величина коєфіцієнта корреляції не залежить від вибору одиниці вибору одиниці виміру випадкових величин. В цьому вся перевага коєфіцієнта кореляції перед кореляційним моментом. КК незалежних випадкових величин дорівнює нулю(так як μxy = 0).

Абсолютная величина кореляційного момента двох випадкових величин X, Y не перевищує середнього геометричного їх дисперсій:

Абсолютная величина коєфіцієнта кореляції не перевищує 1.

Властивості корєляційного моменту μ xy:

1) Кор.момент 2 незалежних в.в. Х та Y=0;І навпаки, якщо кор.момент не дорівнює 0, то Х та Y – залежні в.в.

2) Абсолютна величина кор.моменту 2 в.в. Х та Y не перевищує середнього геометричного їх дисперсій: | |<=

Властивості коефіцієнта кореляції:

1) | rxy| <=1; 2) Якщо Х та Y незалежні, то rxy=0; 3) Якщо між Х та Y є лінійна залежність Y=a*X+b, де a та b – сталі, то | rxy|=1

Корельованими наз.2 в.в., якщо їх μ xy відрізняється від 0.

Некорельваними наз. 2 в.в., якщо їх μ xy=0

2.21. Дати означення корельованості (некорельованості) двох в.В. Пояснити різнцю і зв’язок між корельованістю (некорельованістю) і залежністю двох в.В.

Важливу роль у дослідженнях систем відіграє мішаний центральний момент другого порядку , який називається моментом зв’язку або кореляційним моментом (або коваріацією). Позначимо його = = .

Легко вивести робочу формулу для обчислення кореляційного моменту

=

де обчислюється за формулами

для дискретних випадкових величин

і для неперервних випадкових величин. Зауважимо, що може бути додатним або від’ємним числом.

Зв’язок між корел-тю(некорел-тю) та залежністю:

якщо Х, Y некорельовані μ xy=0, то залежність невідома.

якщо Х, Y корельовані , то вони залежні

якщо X, Y незалежні , то вони некорельовані X, Y =0

якщо X, Y залежні, то вони можуть бути як корельованими так і некорельованими

μ xy – індикатор залежності і незалежності X, Y

Різниця: із незалежності 2 величин слідує їх некорельованість , але із некорельваності неможна зробити висновок о незалежності цих величин