2.13.Дати означення функціїї розподілу імовірностей с.В.В. Сформулювати її основні властивості та геометричний зміст.

Ф-цією розпділу двв (Х,У) називають ф-цію 2-х змінних F(х,у), яка визначає для кожної пари чисел (Х,У) імовірність виконання нерівностей X<x; Y<y, тобто F(x,y)=P(X<x; Y<y).

Аналогічно визначають ф-цію розподілу n вв: F(х1,х2,…,xn)= P(X<x; Y<y,…, Xn<xn)

Властивості:

0≤ F(x,y)≤1;

F(х,у)не спаднка ф-ція за кожним аргументом, тобто F(x2,y)≥ F(x1,y), якщо x2> x1; F(x,y2) >F(x,y1), якщо у2> у1;

Мають місце граничні співвідношення: F(-∞ ,y)=0; F(x1,∞-)=0; F(∞,∞)=1;

Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}

Геометричний зміст ф-ї розподілу F(х,у) – це імовірність того, що випадкова точка М(Х,У), попаде у нескінченний прямокутник з вершиною в т.(Х,У) і розміщений нижче та лівіше цієї вершини М(Х,У)

2.14.Дати означення функції щільності розподілу імовірностей с.В.В. Сформулювати її основні властивості та геометричний зміст.

2-хвимірною щільністю ймовірностей f(х,у) двв (Х,У) називаєть другу мішану частинну похідну від інтегральної ф-ції розподілу:

Якщо відома щільність імовірностей f(х,у) двв, то її ф-цію розподілу знаходять за ф-лою:

Імовірність влучення випадквої точки (Х,У) в довільну облась D знаходять:

P((X,Y,)єD)=

Властивості: 1) f(х,у)≥0, вона не від’ємна; 2)

2.15.Вивести формули для обчислення ймовірностей влучання випадкової точки в: а)прямокутник із сторонами, паралельними координатним осям;б) довільну область на координатній площині.Навести приклади застосуванняцих формул.

Імовірність влучення випадквої точки (Х,У) в довільну облась D знаходять: P((X,Y,)єD)=∫∫df(х,у)dxdy

Р- ймовірність влучення точки;

f(х,у)- щільність розподілу

Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}

х,у – координати точки в просторі

F(х,у)-ф-ція розподілу.

2.16. Дати означення залежності та незалежності випадкових величин. Сформулювати і довести теореми про необхідну достатню умови незалежності в.В.,, що входять у с.В.В.

Дві випадкові величини наз. незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, які ймовірні значення прийняла інша величина. Отже, умовні розподіли незалажних величин дорівнюють їхнім умовним розподілам.

Теорема: для того щоб випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку функцій розподілу складових :

Необхідно: F (x, y) = F1(x) F2(y).

Достотньо : нехай F(x, y) = F1(x) F2(y). Звідси P(X<x, Y<y) = P(X < x) P (Y<y).

Звідси для того щоб неперервні випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб щільність спільного розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових : f (x,y) = f1(x)f2 (y). Достатньо F (x, y) = F1(x) F2(y).