3. Традиционная и современная логика

История логики охватывает около двух с половиной тысячелетий. «Старше» формальной логики, пожалуй, только философия и математика.

В длинной и богатой событиями истории развития логики отчетливо выделяются два основных этапа. Первый - от древнегреческой логики до возникновения во второй половине прошлого века современной логики. Второй - с этого времени до наших дней.

На первом этапе, обычно называемом традиционной логикой, формальная логика развивалась очень медленно. Обсуждавшиеся в ней проблемы мало чем отличались от проблем, поставленных еще Аристотелем. Это дало повод немецкому философу И.Канту (1724-1804) в свое время придти к выводу, что формальная логика является завершенной наукой, не продвинувшейся со времени Аристотеля ни на один шаг.

Кант не заметил, что еще с XVII в. стали назревать предпосылки для научной революции в логике. Именно в это время получила ясное выражение идея представить доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике.

Эта идея связана главным образом с именем немецкого философа и математика Г.Лейбница (1646-1716). По Лейбницу, вычисление суммы или разности чисел осуществляется на основе простых правил, принимающих во внимание только форму чисел, а не их смысл. Результат вычисления однозначно предопределяется этими, не допускающими разночтения правилами, и его нельзя оспорить. Лейбниц мечтал о времени, когда умозаключение будет преобразовано в вычисление. Когда это случится, споры, обычные между философами, станут так же невозможны, как невозможны они между вычислителями. Вместо спора они возьмут в руки перья и скажут: «Будем вычислять».

Идеи Лейбница не оказали, однако, заметного влияния на его современников. Энергичное развитие логики началось позже, в XIX в.

Немецкий математик и логик Г.Фреге (1848-1925) в своих работах стал применять формальную логику для исследования оснований математики. Фреге был убежден, что «арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никакого обоснования». Пытаясь свести математику к логике, он реконструировал последнюю. Логическая теория Фреге - провозвестник всех нынешних теорий правильного рассуждения.

Идея сведения всей чистой математики к логике была подхвачена английским логиком и философом Б.Расселом (1872-1970). Но последующее развитие логики показало неосуществимость этой грандиозной по своему замыслу попытки. Она привела, однако, к сближению математики и логики и к широкому проникновению плодотворных методов первой во вторую.

В России в конце прошлого - начале нынешнего века, когда научная революция в логике набрала силу, ситуация была довольно сложной. И в теории, и в практике преподавания господствовала так называемая «академическая логика», избегавшая острых проблем и постоянно подменявшая науку логику невнятно изложенной методологией науки, истолкованной к тому же по заимствованным и устаревшим образцам. И тем не менее были люди, стоявшие на уровне достижений логики своего времени и внесшие в ее развитие важный вклад. Прежде всего это доктор астрономии Казанского университета, логик и математик П.С.Порецкий. Сдержанное общее отношение к математической логике, разделявшееся многими русскими математиками, во многом осложнило его творчество. Часть своих работ он вынужден был опубликовать за границей. Но его идеи оказали в конечном счете существенное влияние на развитие алгебраически трактуемой логики как в нашей стране, так и за рубежом. Порецкий первым в России начал читать лекции по современной логике, о которой он говорил, что это «по предмету своему есть логика, а по методу математика». Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий логики и в наши дни.

Одним из первых (еще в 1910 г.) сомнения в неограниченной приложимости логического закона противоречия, о котором пойдет речь далее, высказал логик Н.А.Васильев. «Предположите, - говорил он, - мир осуществленного противоречия, где противоречия выводились бы, разве такое познание не было бы логическим?» Васильев, подобно Ломоносову, наряду с научными статьями, писал порой и стихи. В них своеобразно преломлялись его логические идеи, в частности идея воображаемых (возможных) миров:

 

... Мне грезится безвестная планета,

Где все идет иначе, чем у нас.

В качестве логики воображаемого мира он предложил свою теорию без закона противоречия, долгое время считавшегося центральным принципом логики. Васильев полагал необходимым ограничить и действие закона исключенного третьего, о котором также  говорится в дальнейшем. В этом смысле Васильев явился одним из идейных предшественников логики наших дней. Идеи Васильева при его жизни подвергались жесткой критике, в результате он оставил занятия логикой. Потребовалось полвека, прежде чем его «воображаемая логика» без законов противоречия и исключенного третьего была оценена по достоинству. Идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключенного третьего и близких ему способов математического доказательства, были развиты математиками А.Н.Колмогоровым, В.А.Гливенко, А.А.Марковым и др. В результате возникла так называемая конструктивная логика, считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

Известный русский физик П.Эренфест первым высказал гипотезу о возможности применения современной ему логики в технике. В 1910 г. он писал: «Символическая формулировка дает возможность «вычислять» следствия из таких сложных систем посылок, в которых при словесном изложении почти или совершенно невозможно разобраться. Дело в том, что в физике и технике действительно существуют такие сложные системы посылок. Пример: пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить: 1) будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции; 2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое «или-или», воплощенное в эбоните и латуни; все вместе - система чисто качественных (сети слабого тока, поэтому не количественных) «посылок», ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности. Следует ли при решении этих вопросов раз и навсегда удовлетвориться рутинным способом преобразования на графике? Правда ли, что, несмотря на существование уже разработанной алгебры логики, своего рода «алгебра распределительных схем» должна считаться утопией?»

В дальнейшем гипотеза Эренфеста получила воплощение в теории релейно-контактных систем.

В общем, оглядываясь на историю распространения логики, можно сказать, что лучшие русские логики всегда стремились стоять на уровне современных им мировых теорий и концепций, органически чуждаясь всякого рода логического сектантства и сепаратизма.

Современную логику нередко называют математической, подчеркивая тем самым своеобразие новых ее методов в сравнении с использовавшимися ранее в традиционной логике.

Одна из характерных черт этих методов - широкое использование разнообразных символов вместо слов и выражений обычного языка. Символы применял в ряде случаев еще Аристотель, а затем и все последующие логики. Однако теперь в использовании символики был сделан качественно новый шаг. В логике стали использоваться специально построенные языки, содержащие только специальные символы и не включающие ни одного слова обычного разговорного языка.

Широкое использование символических средств послужило основанием того, что, новую логику стали называть символической. Названия «математическая логика» и «символическая логика», обычно употребляемые и сейчас, обозначают одно и то же - современную формальную логику. Она занимается тем же, чем всегда занималась логика - исследованием правильных способов рассуждения.

4. Логика есть знание об абстрактном мышлении. Это мышление вербально, поэтому логика не может не интересоваться языками.

Интерес логики (и не только логики) к языкам в конце XIX века привел к созданию семиотики - науки о знаках.

Мы отмечали, что предметом логики является абстрактное мышление и что любая абстрактная мысль (идея) нечувственна. В силу нечувственности идеи возникает проблема ее фиксации в сознании. Эта проблема решается с помощью языка: идея находит свое выражение в слове или словосочетании. Хотя слова языка сами по себе чувственны, это, как правило, абстрактная чувственность по отношению к обозначенным ими предметам: слово и стоящий за ним предмет обычно не имеют непосредственной чувственной связи. Абстрактность словесной (вербальной) чувственности и делает язык незаменимым помощником сознания при абстрактном мышлении - настолько незаменимым, что последнее можно именовать вербальным.

Будучи знанием об абстрактном мышлении, логика не может не интересоваться языками. Она рассматривает их как знаковые системы. Устойчивый интерес логики (и не только логики) к языкам в конце XIX века привел к созданию семиотики - науки о знаках. У нее три основных раздела:

Раздел семиотики	Коротко о предмете исследования	Подробно о предмете исследования
Синтактика	отношения между знаками	правила построения выражений языка из отдельных знаков
Семантика	отношение между знаком и его значением	связь знака с тем, что он обозначает
Прагматика	отношение человека к знакам	влияние человека на использование знаков и знаков - на поведение человека

Знак - это материальный предмет, репрезентирующий другой предмет.

Ключевым понятием семиотики является понятие знака. Знак - это материальный предмет, репрезентирующий (заменяющий в процессе познания и общения) другой предмет. В данном определении следует обратить внимание на то, что знак всегда материален, а вот репрезентировать (обозначать) он может что угодно: как материальное, так и нематериальное. Например, слово "стол" обозначает материальную вещь, а слово "мышление" - нематериальный процесс.

По характеру отношения репрезентации различают три типа знаков: индикаторы, образы и символы.

По характеру отношения репрезентации различают три типа знаков:

Тип знака	Отношение репрезентации	Примеры
Индикатор	Каузальное (причинно-следственное)	Дым (по отношению к огню), улыбка (по отношению к хорошему настроению)
Образ	Отношение подобия (внешнего сходства)	Фотография (по отношению к тому, что сфотографировано)
Символ	Неопределенное	Буква алфавита, арабская цифра

Любой знак имеет смысловое и предметное значения (иногда говорят короче: смысл и значение).

Любой знак имеет смысловое и предметное значения (часто для краткости используют слова "смысл" и "значение", имея в виду два указанных вида значений). Смысловое значение - это мысль о предмете, зафиксированная в знаке. Предметным же значением является сам репрезентируемый (обозначаемый) знаком предмет.

Возьмем, например, слово "лес". Чтобы указать смысловое значение, дают описание мысли, заключенной в знаке. Для слова "лес" смысл можно передать словосочетанием "множество деревьев". Это неточное указание смыслового значения. Точнее нужно выразиться так: "массив дикорастущих деревьев". Что касается предметного значения слова "лес", то в этом качестве выступает произвольный элемент множества, обозначенного данным словом.

В учебниках логики можно встретить заявление, будто бы бывают знаки без смыслового или предметного значения. Например, Ю.В. Ивлев в качестве примера знака, не имеющего смысла, приводит математическое число, а ярким примером знака без предметного значения он считает выражение "вечный двигатель". Все примеры отсутствия у знака того или иного значения не выдерживают серьезной критики. Возьмем математическое число "один". Его смысл - минимальное количество при натуральном счете. Что касается "вечного двигателя", "кентавра", "русалки" и т. п., то здесь утверждение об отсутствии у таких знаков предметного значения основано на слишком узком понимании предмета: последний, считают сторонники этой точки зрения, может быть лишь материальным.

Всякое выражение языка относится к той или иной семантической категории. Эти категории бывают двух типов: дескриптивные и логические.

Всякое выражение языка относится к той или иной семантической категории - к группе терминов, выполняющих одну и ту же семантическую функцию, т. е. одинаковым образом репрезентирующих предметы.

Семантических категории бывают двух типов: дескриптивные и логические. Дескриптивная категория репрезентирует конкретный предмет, т. е. предмет, неразрывно связанный с другими предметами, а логическая - абстрактный предмет, т. е. такой, который взят сам по себе, в отрыве от других предметов. Например, слово "лес" обычно представляет собой дескриптивную категорию, так как соответствующий ему предмет не рассматривают, как правило, вне связи с другими предметами - небом, землей, животными и т. д. А вот соединительный союз "и" - типичный представитель логической категории, или логический термин, так как он обозначает абстрактное соединение, т. е. соединение чего угодно, без привязки к каким-то определенным предметам. Какие еще логические термины часто встречаются в языке, будет указано в следующей лекции, а пока оставим логические категории в стороне.

Дескриптивными категориями являются предложение, имя, признак, знаки свойства и отношения.

Среди дескриптивных категорий основной является предложение - выражение законченной мысли. По цели высказывания выделяют три вида предложений: повествовательное, вопросительное, восклицательное. Главный из этих видов - первый.

В составе любого предложения имеются, как минимум, две дескриптивных категории: имя и признак. Имя - это выражение языка, называющее предмет, признак - знак наличия свойства. Например, в предложении "Земля круглая" слово "Земля" - имя, а слово "круглая" - признак. Две указанные категории присутствуют в предложении всегда, даже тогда, когда оно состоит из единственного слова. Так, в предложении "Темнеет" помимо высказанного признака "темнеет" имеется невысказанное имя "пространство".

Имена делят на единичные и общие. Единичное имя обозначает какой-то единичный, т.е. единственный и неповторимый, предмет, а общее - произвольный элемент какого-то множества. Например, имя "Земля" - единичное, а имя "планета" - общее. Впрочем, одно и то же выражение языка в одних случаях можно рассматривать как единичное имя, в других - как общее. Всё зависит от того, что имеется в виду. Сравним две фразы: "Человек живет на Земле десятки тысяч лет" и "Человек рождается и умирает". Слово "человек" в первом случае использовано как единичное имя, обозначающее уникальный род живых существ, а во втором - как общее имя, которое указывает на произвольного представителя множества людей.

Что касается признака, то следует учитывать, что стандартно его выражают не менее чем двумя словами, причем первое из них - глагол-связка "быть". В приведенных выше предложениях этот глагол не высказан, а лишь подразумевается. Во многих западноевропейских языках такое построение предложений запрещено, а в русском встречается сплошь и рядом.

Русский глагол-связка "быть" в настоящем времени имеет две формы: "есть" (единственное число) и "суть" (множественное число третьего лица). Вторая форма - устаревшая, сейчас обычно используется лишь первая - и для единственного, и для множественного числа, но в логике для большей строгости высказываний сохранили обе формы. Например, предложение "Земля круглая" стандартно должно быть представлено как "Земля есть круглая", а предложение "Эти часы отстают" - как "Эти часы суть отстающие". Подробнее особенности стандартного выражения суждений освещены в рамках седьмой лекции.

Иногда помимо имен и признаков в составе предложений выделяют знаки свойств и отношений, причем под свойством понимается отличие предмета от других однородных предметов, а под отношением - отличие, присущее паре, тройке и т.д. разнородных предметов. Возьмем для примера такое вот предложение: "Лекция по логике идет в 225-й аудитории". Переведем в стандартную форму: "Лекция по логике есть идущая в 225-й аудитории". Все слова этого предложения можно распределить всего по двум категориям: имя "лекция по логике" и признак "есть идущая в 225-й аудитории". Но можно провести и другой, более детальный семантический анализ, согласно которому "лекция" и "аудитории" - имена, "по логике" и "225-й" - знаки свойств, а "… есть идущая в …" - знак отношения.

При записи последнего знака троеточиями обозначены два свободных места данного отношения, которые должны быть заняты какими-то разнородными предметами (в примере этими предметами являются лекция и аудитория). Такое отношение называется двухместным. Но бывают отношения и с большим количеством мест. Например, в предложении "Орёл находится между Тулой и Курском" отношение "… находится между … и …" трехместное. Однако любое многоместное отношение можно свести к комбинации двухместных. Для последнего примера сделаем это так: "Тула находится с северной стороны от Орла, а Курск - с южной".