Решение задачи 9 типового варианта

9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

а) ▲ .

• Составляем характеристическое уравнение .

• Решаем его .

• Записываем общее решение . ▼

б) ▲ .

• Составляем характеристическое уравнение .

• Решаем характеристическое уравнение .

• Общее решение . ▼

в) ▲ .

• Составляем характеристическое уравнение .

• Решаем его ; Имеем .

• Общее решение . ▼

2.4. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Общее решение данного уравнения находится по формуле

,

где − общее решение соответствующего однородного уравнения

,

а − частное решение неоднородного уравнения

.

В простейших случаях, когда функция , входящая в исходное уравнение является многочленом, либо показательной функцией, либо тригонометрической функцией или , либо линейной комбинацией перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.

В дальнейшем будем употреблять символы для обозначения многочленов степени :

,

.

Рассмотрим некоторые виды правых частей исходного неоднородного уравнения, допускающие применение этого метода.

2.4.1. Правая часть имеет вид

Частное решение уравнения

надо искать в виде

Во всех случаях надо взять многочлен с неопределенными коэффициентами, которые находятся после подстановки в уравнение.

2.4.2. Правая часть имеет вид

Частное решение уравнения

надо искать в виде

Во всех случаях надо взять многочлен с неизвестными коэффициентами, которые определятся после подстановки в уравнение.

2.4.3. Правая часть имеет вид

Частное решение уравнения

надо искать в виде

Коэффициенты определяются после подстановки в уравнение.

2.4.4. Правая часть имеет вид ,

где − многочлен степени , а − многочлен степени .

Частное решение уравнения

надо искать в виде

Зависимость частного решения от корней характеристического уравнения отражена в следующей таблице

Тип	Правая часть диф. уравнения	Корни характеристического уравнения	Виды частного решения
I		1. 2. 3.
II		1. 2. 3.
III		1. 2.
IV		1. 2.

Здесь − многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов , а коэффициенты многочленов подлежат определению.

Для определения общего вида многочленов можно воспользоваться следующей таблицей

Данный многочлен в правой части уравнения	Наивысшая степень данного многочлена	Общий вид искомого многочлена
2; −37;	0
	1
	2
	3

Неопределенные коэффициенты многочленов равенства находятся так.

В заданное уравнение подставляется частное решение , и сравниваются коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной в левой и правой частях. Ниже на примерах укажем, как это выполняется практически.

Пример 4.4.1. Найти общее решение уравнения .

▲ 1) Найдем общее решение однородного уравнения .

• Характеристическое уравнение .

• По теореме Виета корни характеристического уравнения .

• Общее решение однородного уравнения .

2) Подберем частное решение неоднородного уравнения . Для этого рассмотрим правую часть данного уравнения .

• Правая часть не содержит множителя , следовательно, это тип I.

• , т. е. это подтип 1.

• Правая часть данного уравнения является многочленом второй степени

, т. е. .

Общий вид многочлена второй степени .

Таким образом, частное решение будем искать в виде .

3) Коэффициенты определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим:

.

Подставляя выражения в данное уравнение, получим

или, приводя подобные члены (свободные члены), имеем

.