2.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Уравнение , в котором

− непрерывные функции на отрезке , называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка.

С помощью дифференциального оператора порядка

оно запишется так:

.

Если − линейно независимых решений (фундаментальная система решений) уравнения , то

,

где − произвольные постоянные, есть его общее решение.

Если для уравнения на отрезке выполнены условия теоремы существования и единственности решения, то для того чтобы решений были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского .

Решения уравнения второго порядка линейно независимы, если . В противном случае они линейно зависимы.

Вид общего решения уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами зависит от корней характеристического уравнения

.

• Если − различные и вещественные корни, общее решение уравнения имеет вид

.

• Если − двукратный вещественный корень, общее решение имеет вид

.

• Если − комплексно-сопряженные корни, общее решение записывается в виде

.

Зависимость общего решения от корней характеристического уравнения отражена в следующей таблице

№	Характер корней характеристического уравнения	Вид общего решения уравнения
1	Корни вещественные разные
2	Корни вещественные равные
3	Комплексные корни

Что нужно знать для составления общих решений уравнения

.

1. Уметь составить характеристическое уравнение по виду дифференциального уравнения. Чтобы составить характеристическое уравнение надо в дифференциальном уравнении заменить производные степенями неизвестной величины , причем степень должна быть равна порядку соответствующей производной, а сама искомая функция заменена единицей (т. е. для этого нужно формально заменить любой буквой в степени : заменить , ).

2. Уметь решать квадратное уравнение по формуле или по теореме Виета: .

3. Знать на память вид общего решения в зависимости .

Алгоритм отыскания общего решения уравнения

1. Составить характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению.

2. Решить характеристическое уравнение и записать его корни .

3. По виду корней записать общее решение.

Независимо от того, решили вы примеры или нет, разберитесь, как найдены общие решения данных уравнений.

№	А лгоритм Уравнение	Составить характеристическое уравнение	2) Найти корни характеристического уравнения	Записать общее решение
1
2
3
4

Пример.2.3.1. Найти частное решение уравнения , если .

Чтобы решить задачу Коши, то есть определить частное решение уравнения по заданным условиям , нужно:

1. Найти общее решение: .

2. Подставить начальное условие в общее решение .

3. Найти от общего решения и подставить туда второе начальное условие: .

,

.

4. Решить полученную для определения систему

5. Подставить в общее решение:

− частное решение.