Решение задач 1-5 типового варианта

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

1. .

▲ Здесь можно записать как (разложив на множители оба выражения): , где каждый из сомножителей зависит только от одной переменной. Следовательно, данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (тип I).

• .

• 

.

Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является

. ▼

2. .

▲ Здесь функции представляют собой выражения, в которых каждый из сомножителей зависит только от одной переменной. Поэтому исходное уравнение является уравнением типа I.

• .

• ,

− общий интеграл дифференциального уравнения. ▼

3. .

▲ Запишем уравнение в нормальной форме

.

. Следовательно, − однородная функция нулевого измерения, потому исходное уравнение однородное.

• ,

• .

,

.

• Общий интеграл исходного уравнения: . ▼

4. Найти частное решение дифференциального уравнения

.

▲ Приведем подобные члены относительно и преобразуем уравнение, выделив производную ,

.

Функция и ее производная входят в уравнение в первой степени (линейно). Следовательно, данное уравнение линейное. Решаем его.

• 

• ;

• ;

• Тогда − общее решение исходного уравнения.

• Находим , используя начальное условие: .

.

Окончательно получаем, что частное решение исходного уравнения имеет вид

. ▼

5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

▲ Преобразуем уравнение для того, чтобы определить его тип. Получим

.

Отличается от соответствующего линейного уравнения правой частью . Следовательно, данное уравнение является уравнением Бернулли.

1. .

2. − линейное уравнение относительно .

3. Решим его методом замены переменной.

• .

• 

;

,

• 

.

Имеем

,

.

.

Следовательно,

.

• .

Окончательно находим, что общее решение исходного уравнения определяется формулой

. ▼

2.1. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

(2.1)

или

. (2.2)

Общим решением уравнения (2.1) называется функция

(2.3)

и двух произвольных постоянных , обращающая данное уравнение в верное равенство. Общее решение уравнения (2.1), заданное в неявном виде

, (2.4)

называется общим интегралом.

Частное решение

, (2.5)

где − фиксированные числа, получаются из общего решения (2.3) при фиксированных значениях .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям: . Постоянные определяются из системы уравнений:

(2.6)

2.2. Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка

Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (2.2) с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такие преобразования уравнения (2.2) называются понижением порядка.

2.2.1. Уравнения вида

Уравнение не содержит . Уравнение интегрируется подстановкой , которая дает возможность свести его к уравнению с разделяющимися переменными .

Пример 2.1.1. Найти общее решение уравнения .

▲ Полагая , получаем уравнение первого порядка типа I .

Решая его, находим

,

,

.

Заменяя и интегрируя еще раз, находим искомое общее решение

,

▼

2.2.2. Уравнения вида

Уравнение не содержит . Положим, как и в предыдущем случае, , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно .

Пример 2.2.1. Решить уравнение .

▲ 1) В уравнении нет в явном виде , и оно допускает понижение порядка.

2) Положим , тогда и подставим в исходное уравнение: − линейное уравнение первого порядка (тип III).

3) Решим полученное линейное уравнение

• ;

• ;

• ;

• − новое уравнение первого порядка, в котором .

4) ,

− общее решение исходного уравнения. ▼

Пример 2.2.2. Решить уравнение .

▲ 1) В уравнении нет в явном виде , и оно допускает понижение порядка.

2) Положим , тогда и подставим в исходное уравнение: − уравнение с разделяющимися переменными (тип I).

3) .

4) Следующее уравнение получается заменой : ,

.

Общее решение данного уравнения . ▼

Пример 2.2.3. Решить уравнение .

▲ 1) В уравнении нет в явном виде , и оно допускает понижение порядка.

2) Положим , тогда и подставим в исходное уравнение: .

3) Преобразуем ура1внение к нормальному виду: .

Здесь . Имеем: .

Следовательно, − однородная функция нулевого измерения, потому уравнение является однородным и решается подстановкой ;

,

, откуда , .

4) Заменив , получим уравнение типа I: ,

. ▼