1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным, если функция и ее производная входят в него в первой степени (линейно): − тип .

Для решения уравнения типа применяется метод подстановки

− непрерывные функции,

а также метод вариации произвольной постоянной.

? ?

Что необходимо для решения линейных уравнений:

Уметь

• интегрировать по частям .

• заменять переменную ,

стрелки в скобках указывают на два способа замены переменной.

Знать, что для определения двух неизвестных величин нужна система из двух уравнений.

! !

Если в уравнении

ввести замену

,

где . Для определения можно составить две идентичные системы

из верхнего уравнения получается одна система уравнений, а из нижнего уравнения − вторая

В каждой из систем первое уравнение выбрано произвольно потому, что две неизвестные нельзя найти из одного уравнения. Пользоваться можно любой системой.

Пример 2.3.1. Решить уравнение .

▲ Прежде всего, нужно проверить признаки линейного уравнения: входят в уравнение в первой степени (линейно). Затем следует выполнить следующие операции:

1. Положить , тогда . Подставить в исходное уравнение:

.

2. Составить систему для определения

Решить первое уравнение системы.

. При определении не нужно писать произвольную постоянную, ибо достаточно знать с точностью до постоянной.

3. Подставить во второе уравнение системы и решить полученное:

.

4. Записать ответ: − общее решение. ▼

Пример 2.3.2. Найти частное решение уравнения , если .

▲ Линейное уравнение ( входят в уравнение в первой степени).

1.

2. .

3.

.

4. − общее решение.

5. Чтобы найти частное решение, нужно начальное условие подставить в общее решение и определить :

.

Частное решение: . ▼

Пример 2.3.3. Решить уравнение .

▲ Так как переменная в квадрате, это уравнение не будет линейным относительно функции , но будет линейным, если считать переменную функцией, а аргументом. Имеем ,

.

1. .

2. .

3. .

4. Общее решение: . ▼

Метод вариации произвольной постоянной для решения линейных уравнений

Пример 2.3.4. Решить линейное уравнение методом вариации.

▲ 1. Решить сначала уравнение без правой части (однородное линейное уравнение) :

.

2. Положить и, подставив в исходное уравнение, решить его:

;

.

.

3. Подставить в выражение и записать общее решение

. ▼

Если этот метод решения Вам понравился,

то Вы его можете использовать наряду с методом замены переменной.

1.2.4. Уравнение Бернулли

Одним из уравнений, сводящихся к линейным уравнениям, является уравнение Бернулли (тип IV), которое имеет вид

, где .

Преобразование уравнения Бернулли в линейное уравнение будем проводить в такой последовательности:

1) умножим обе части уравнения ;

2) введем подстановку . Обе части этого равенства продифференцируем:

;

3) полученное линейное уравнение можно решить методом замены переменной или методом вариации.

4) возвратимся к искомой функции, заменяя .

Пример 2.4.1. Решить уравнение Бернулли .

▲ Сведем это уравнение к линейному уравнению.

1) Для этого обе части поделим (умножим ): ,

2) Положим , тогда − линейное уравнение. 3) Решим его методом замены переменной:

1. .

2. Запишем систему .

3. Подставим во второе уравнение системы: ,

.

4. . Общий интеграл . ▼