Геометрический смысл основных понятий

Исходя из геометрического смысла производной , заметим, что уравнение первого порядка задает в каждой точке плоскости значение тангенса угла наклона (к оси ) касательной к графику решения, проходящего через эту точку. Величину далее будем называть угловым коэффициентом. Если теперь в каждой точке задать с помощью некоторого вектора направление касательной, определяемое значением , то получится так называемое поле направлений. Таким образом, геометрически задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной.

Общее решение – однопараметрическое семейство интегральных кривых , где − параметр.

Частное решение уравнения − интегральная кривая , угловые коэффициенты касательных к которой определяются данным дифференциальным уравнением.

В области , в которой выполняются все условия теоремы 1 (Коши), для уравнения (1.3) можно выделить однопараметрическое семейство линий , каждая из которых называется изоклиной. Как следует из определения, вдоль каждой изоклины поле направлений постоянно, т. е. .

Нахождение изоклин и направлений вдоль них позволяет упорядочить поле направлений и приближенно построить интегральные линии данного дифференциального уравнения, т. е. графически проинтегрировать это уравнение.

Пример 1.1. Для дифференциального уравнения с начальным условием общее решение имеет вид . Оно представляет собой семейство окружностей. Если теперь в общее решение подставить начальные данные, то получим , т. е. . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее указанному начальному условию, есть . Геометрически это означает, что из всего множества окружностей, представляющих общее решение, выбирается одна окружность, проходящая через точку .

Полагая , находим изоклины данного уравнения. Они представляют собой проходящие через начало координат прямые линии, вдоль которых поле направлений определяется равенством . Придавая различные значения, находим соответствующие изоклины, вдоль которых направление поля характеризуется углом наклона к оси касательной к интегральной линии. Необходимые вычисления приведены в виде таблицы.

Таблица 1.1

	0
	0

? ?

Что есть что?

1) Дифференциальное уравнение .

2 ) Общее решение

3) Частное решение

y

x

! !

1.2. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим методы нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка, Отметим, что общего метода нахождения решений не существует. Обычно рассматривают типы уравнений, и для каждого из них находят свой способ нахождения решения.