- •Руководство к решению задач индивидуального задания обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Предисловие
- •1.1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Геометрический смысл основных понятий
- •Что есть что?
- •1.2. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка
- •1.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Как разделять переменные?
- •1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •Что необходимо для решения линейных уравнений:
- •1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах и сводящиеся к ним
- •Что нужно знать для успешного обучения решению уравнений типа V и сводящихся к ним
- •Как определять тип дифференциального уравнения первого порядка
- •Решение задач 1-5 типового варианта
- •2.1. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •2.2.3. Уравнения вида
- •Решение задач 6-8 типового варианта
- •2.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Что нужно знать для составления общих решений уравнения
- •Алгоритм отыскания общего решения уравнения
- •Решение задачи 9 типового варианта
- •2.4. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Этот процесс можно оптимизировать, следующим образом:
- •Решение задач 10-12 типового варианта
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач
Знания и умения, которыми должен владеть студент
1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
Дифференциальное уравнение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение, его запись, порядок, решение, интегральная кривая.
Начальные условия. Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения уравнения первого порядка.
Частное, общее, особое решения (интегралы).
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины.
Теорема существования и единственности решения для дифференциального уравнения порядка.
Частное, общее, особое решения уравнения порядка.
Линейное дифференциальное уравнение, однородное, неоднородное.
Линейно зависимые и независимые функции на множестве. Критерий для случая двух функций.
Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения.
2. Знания на уровне доказательств и выводов
Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, линейных, Бернулли, однородных, в полных дифференциалах.
Необходимое и достаточное условие полного дифференциала.
Понижение порядка дифференциального уравнения (на примере уравнений 2-го порядка)
Определитель Вронского, его свойства.
Структура общего решения линейного однородного и неоднородного дифференциальных уравнений.
Метод вариации произвольных постоянных для отыскания решения линейного дифференциального уравнения (на примере уравнений второго порядка).
Метод Эйлера построения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (на примере уравнений второго порядка).
Метод неопределенных коэффициентов построения частного решения линейного диф2ференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью (на примере уравнений второго порядка).
3. Умения в решении задач
Студент должен уметь:
Решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, линейные, Бернулли, однородные, в полных дифференциалах.
Решать дифференциальные уравнения второго порядка путем понижения порядка (в трех случаях, допускающих понижение порядка).
Решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Веретенников В. Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие (рукопись). − СПб.: изд. РГГМУ, 2007 −
2. Козлов В. Н., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А. Структурированная программа (базис). Типовые задачи для контроля, требования к знаниям и умениям студентов (для студентов технических направлений бакалавриата): Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001, 56 с.
3. Краснов М. Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 3. − М.: Эдиториал УРСС, 2001. − 240 с.
4. Рябушко А. П. и др. Сб. индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. Ч. 2. − Мн.: Выш. шк., 1991. − 352 с.