Решение задач 10-12 типового варианта
10.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
▲
1) Найдем общее
решение однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение
.Корни характеристического уравнения по теореме Виета
.Общее решение однородного уравнения
.
2)
Подберем частное решение неоднородного
уравнения
.
Для этого рассмотрим правую часть
данного уравнения
.
Правая часть содержит множитель
,
следовательно, это тип II.
,
т. е.
совпадает с одним корнем характеристического
уравнения (это подтип 2)Правая часть данного уравнения является произведение многочлена первой степени на показательную функцию
,
т. е.
.
Общий вид многочлена первой степени .
Таким
образом, частное решение будем искать
в виде
.
3)
Коэффициенты
определяем методом неопределенных
коэффициентов. Для этого находим:
,
.
−4 |
|
−3 |
|
1 |
|
.
Сокращая
,
приравнивая коэффициенты, находим
|
|
|
|
Частное решение
данного уравнения
.
Общее решение данного неоднородного уравнения
.
▼
11.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
▲
1) Найдем общее
решение однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение
.Корни характеристического уравнения
.Общее решение однородного уравнения
.
2)
Подберем частное решение неоднородного
уравнения
.
Для этого рассмотрим правую часть
данного уравнения
.
Имеем
,
следовательно, это тип III.
,
т. е. это подтип 1.
Таким
образом, частное решение будем искать
в виде
.
3)
Коэффициенты
определяем методом неопределенных
коэффициентов. Для этого находим:
.
0 |
|
1 |
|
1 |
|
.
|
|
|
|
|
,
, Частное
решение неоднородного данного уравнения
.
Общее
решение исходного уравнения
.
▼
12.
Найти частное решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее данным
начальным условиям:
.
▲
1) Найдем общее
решение однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение
.Корни характеристического уравнения
.Общее решение однородного уравнения
.
2)
Подберем частное решение неоднородного
уравнения
.
Для этого рассмотрим правую часть
данного уравнения
.
Правая часть содержит множитель
,
следовательно, это тип II.
,
т. е. это подтип 1.Правая часть данного уравнения является произведением многочлена первой степени на показательную функцию
,
т. е.
.
Общий
вид многочлена первой степени
Таким
образом, частное решение будем искать
в виде
.
3) Коэффициенты определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим:
.
16 |
|
0 |
|
1 |
|
.
Сокращая
,
приравнивая коэффициенты, находим
|
|
|
|
Частное
решение неоднородного данного уравнения
.
Общее
решение исходного уравнения
.
4) Для определения составим систему, подставив начальные условия
в
общее решение и производную от этого
решения
.
Окончательно имеем частное решение исходной задачи Коши
.
▼