Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный гидрометеорологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МП-ОДУ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

19.09.2019

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Этот процесс можно оптимизировать, следующим образом:

2		Слева от черты стоят коэффициенты данного уравнения, на которые следует умножить и, сложив их, получить правую часть этого уравнения.
3
1

3) Поскольку − решение дифференциального уравнения, то последнее равенство должно выполняться , т. е. является верным равенством (тождеством), поэтому коэффициенты при одинаковых степенях , стоящие в разных частях, равны между собой (Так мы будем поступать и при решении последующих задач, не делая этой оговорки), т. е. чтобы было

	,
	,
	.

Частное решение данного уравнения .

4) Общее решение данного неоднородного уравнения . ▼

Пример 4.4.2. Найти общее решение уравнения .

▲ 1) Найдем общее решение однородного уравнения .

Характеристическое уравнение .
По теореме Виета корни характеристического уравнения .
Общее решение однородного уравнения .

2) Подберем частное решение неоднородного уравнения . Для этого рассмотрим правую часть данного уравнения .

Правая часть не содержит множителя , следовательно, это тип I.
, т. е. это подтип 1.
Число 5 в правой части надо рассматривать как многочлен нулевой степени . Общий вид многочлена нулевой степени .

Таким образом, частное решение будем искать в виде .

3) Вычислим коэффициент : для этого нужно подставить в данное уравнение, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной слева и справа, найти .

12
(−7)
1

Получаем . Откуда и, следовательно, частное решение неоднородного уравнения .

4) Общее решение заданного уравнения: . ▼

Пример 4.4.3. Найти общее решение уравнения .

▲ 1) Найдем общее решение однородного уравнения .

Характеристическое уравнение .
Корни характеристического уравнения .
Общее решение однородного уравнения .

2) Подберем частное решение неоднородного уравнения . Для этого рассмотрим правую часть данного уравнения .

Правая часть не содержит множителя , следовательно, это тип I.
, т. е. это подтип 2.
Правая часть данного уравнения является многочленом второй степени

, т. е. .

Общий вид многочлена второй степени .

Таким образом, частное решение будем искать в виде .

3) Коэффициенты определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим:

0
−3
1

Имеем

Частное решение данного уравнения .

4) Общее решение данного неоднородного уравнения . ▼

Пример 4.4.4. Решить задачу Коши .

▲ 1) Найдем общее решение однородного уравнения .

Характеристическое уравнение .
Корни характеристического уравнения .
Общее решение однородного уравнения .

2) Подберем частное решение неоднородного уравнения . Для этого рассмотрим правую часть данного уравнения .

Правая часть содержит множителя , следовательно, это тип II.
, т. е. совпадает с одним (но не с обоими) из корней (это подтип 2).
Правая часть данного уравнения является произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию

, т. е. .

Общий вид многочлена нулевой степени .

Таким образом, частное решение будем искать в виде .

3) Коэффициент определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим:

15
16
4

Сокращая левую и правую части , получаем .

Частное решение данного уравнения .

Общее решение данного неоднородного уравнения .

4) Для определения составим систему, подставив начальные условия

в общее решение и производную от этого решения .

Окончательно имеем частное решение исходной задачи Коши . ▼

Обратите внимание на принципиальную разницу между частным решением и тем, которое получается в результате решения задачи Коши. Последнее удовлетворяет заданным начальным условиям, а − одно из множества возможных частных решений.

Пример 4.4.5. Найти общее решение уравнения .

▲ 1) Найдем общее решение однородного уравнения .

Характеристическое уравнение .
Корни характеристического уравнения .
Общее решение однородного уравнения .

2) Подберем частное решение неоднородного уравнения . Для этого рассмотрим правую часть данного уравнения .

Правая часть содержит множитель , следовательно, это тип II.
, т. е. совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения (это подтип 3).
Правая часть данного уравнения является произведение многочлена первой степени на показательную функцию

, т. е. .

Общий вид многочлена первой степени .

Таким образом, частное решение будем искать в виде .

3) Коэффициенты определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим:

1
−2
1

Сокращая , приравнивая коэффициенты, находим

Частное решение данного уравнения .

Общее решение данного неоднородного уравнения . ▼

Пример 4.4.6. Найти общее решение уравнения .

▲ 1) Найдем общее решение однородного уравнения .

Характеристическое уравнение .
Корни характеристического уравнения .
Общее решение однородного уравнения .

2) Подберем частное решение неоднородного уравнения . Для этого рассмотрим правую часть данного уравнения .

Имеем , следовательно, это тип III.
, то это подтип 1.

Таким образом, частное решение будем искать в виде .

Замечание. Предостерегаем читателя от распространенной ошибки. В правой части дифференциального уравнения нет члена . Не следует думать, что и в решении такой член должен отсутствовать. Ведь не обязано равняться , и потому из того, что , не вытекает, что и .