2 Постановка задачи

По структурной схеме надежности информационной системы (Рисунок 1) и заданным значениям интенсивности отказов ее элементов (Таблица 1):

1) построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0,1 – 0,2;

2) определить время наработки системы соответствующее заданному γ (гамма-процентному ресурсу системы);

3) обеспечить при заданном γ (гамма-процентном ресурсе) увеличение времени наработки системы не менее чем в 1,5 раза за счет структурного резервирования элементов системы.

Написать программу для построения графиков зависимости вероятности безотказной работы от времени наработки.

Рисунок 1 - Структурная схема надежности

Таблица 1 - Значения интенсивности отказов элементов, 10^-6

λ1	λ2	λ3	λ4	λ5	λ6	λ7	λ8	λ9	λ10	λ11	λ12	λ13	λ14	λ15
0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	6,4	6	5,6	5,2	4,8	4,4	4

γ = 50% ,где γ – (гамма-процентный ресурс системы) – вероятность безотказной работы системы, выраженный в процентах, по истечении определенного времени непрерывной работы (наработки) системы.

Все элементы системы работают в режиме нормальной эксплуатации. Резервирование отдельных элементов или групп элементов должно осуществляться идентичными по надежности резервными элементами или группами элементов. Переключатели при резервировании считаются идеальными.

3 Расчетная часть

Элементы 6, 9 образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом А.

P_А = p₆ · p₉ (1)

Элементы 13, 14 образуют параллельное соединение, которое заменяем элементом B.

P_B = 1 - ((1 - p₁₃) · (1 - p₁₄)) (2)

Рассмотрим полученную схему используя метод наименьших путей (Рисунок 2):

Рисунок 2 - Структурная схема надежности после первого преобразования

Элементы 2, А, 12 образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом С.

P_С = p₂ · Р_А · p₁₂ (3)

Элементы 2, А, 10, 11, B образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом D.

P_D = p₂ · Р_А · p₁₀ · p₁₁ · P_B (4)

Элементы 4, 3, А, 12 образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом E.

P_E = p₄ · p₃ · Р_А · p₁₂ (4)

Элементы 4, 3, А, 10, 11, B образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом F.

P_F = p₄ · p₃ · Р_А · p₁₀· p₁₁· P_B (5)

Элементы 4, 7, 10, 12 образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом G.

P_G = p₄ · p₇ · p₁₀ · p₁₂ (6)

Элементы 4, 7, 11, B образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом H.

P_H = p₄ · p₇ · p₁₁ · P_B (7)

Элементы 4, B образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом J.

P_J = p₄ · P_B (8)

Рисунок 3 - Структурная схема надежности после второго преобразования

Элементы 5, C, D, E, F, G, H, J образуют параллельное соединение, которое заменяем элементом K.

P_K = 1 – ((1-p₅) · (1-Р_C) · (1-Р_D) · (1-Р_E) · (1-Р_F) · (1-P_G) · (1-P_H) · (1-P_J)) (9)

Рисунок 4 - Структурная схема надежности после третьего преобразования

Элементы K, 15 образуют последовательное соединение, которое заменяем элементом L.

P_L = P_K · p₁₅ (10)

Рисунок 5 - Структурная схема надежности после четвертого преобразования

Элементы L, 8 образуют параллельное соединение, которое заменяем элементом M.

P_M = 1 - ((1 - P_L) · (1 - p₈)) (11)

Рисунок 6 - Преобразованная структурная схема надежности

P_ОБЩ = p₁ · P_M (12)

Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 (Рисунок 1) подчиняются экспоненциальному закону:

(13)

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 – 15 исходной схемы по формуле (13) для наработки до 9·10⁵ часов представлены в Таблице 2:

Таблица 2: Результаты расчетов вероятностей безотказно работы

		Наработка, t – 100 000 ч
№	λш· 10-6	0,5	1	1,5	2,5	3	4	4,5	5	6	9	3,75
1	0,5	0,9753	0,9512	0,9277	0,8825	0,8607	0,8187	0,7985	0,7788	0,7408	0,6376	0,8290
2	1	0,9512	0,9048	0,8607	0,7788	0,7408	0,6703	0,6376	0,6065	0,5488	0,4066	0,6873
3	1,5	0,9277	0,8607	0,7985	0,6873	0,6376	0,5488	0,5092	0,4724	0,4066	0,2592	0,5698
4	2	0,9048	0,8187	0,7408	0,6065	0,5488	0,4493	0,4066	0,3679	0,3012	0,1653	0,4724
5	2,5	0,8825	0,7788	0,6873	0,5353	0,4724	0,3679	0,3247	0,2865	0,2231	0,1054	0,3916
6	3	0,8607	0,7408	0,6376	0,4724	0,4066	0,3012	0,2592	0,2231	0,1653	0,0672	0,3247
7	3,5	0,8395	0,7047	0,5916	0,4169	0,3499	0,2466	0,2070	0,1738	0,1225	0,0429	0,2691
8	4	0,8187	0,6703	0,5488	0,3679	0,3012	0,2019	0,1653	0,1353	0,0907	0,0273	0,2231
9	6,4	0,7261	0,5273	0,3829	0,2019	0,1466	0,0773	0,0561	0,0408	0,0215	0,0032	0,0907
10	6	0,7408	0,5488	0,4066	0,2231	0,1653	0,0907	0,0672	0,0498	0,0273	0,0045	0,1054
11	5,6	0,7558	0,5712	0,4317	0,2466	0,1864	0,1065	0,0805	0,0608	0,0347	0,0065	0,1225
12	5,2	0,7711	0,5945	0,4584	0,2725	0,2101	0,1249	0,0963	0,0743	0,0442	0,0093	0,1423
13	4,8	0,7866	0,6188	0,4868	0,3012	0,2369	0,1466	0,1153	0,0907	0,0561	0,0133	0,1653
14	4,4	0,8025	0,6440	0,5169	0,3329	0,2671	0,1720	0,1381	0,1108	0,0714	0,0191	0,1920
15	4	0,8187	0,6703	0,5488	0,3679	0,3012	0,2019	0,1653	0,1353	0,0907	0,0273	0,2231
A	-	0,6250	0,3906	0,2441	0,0954	0,0596	0,0233	0,0146	0,0091	0,0036	0,0002	0,0295
B	-	0,9579	0,8643	0,7520	0,5338	0,4408	0,2934	0,2375	0,1915	0,1235	0,0321	0,3256
C	-	0,4584	0,2101	0,0963	0,0202	0,0093	0,0019	0,0009	0,0004	0,0001	0,0000	0,0029
D	-	0,3188	0,0958	0,0277	0,0022	0,0006	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001
E	-	0,4045	0,1637	0,0662	0,0108	0,0044	0,0007	0,0003	0,0001	0,0000	0,0000	0,0011
F	-	0,2814	0,0746	0,0191	0,0012	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
G	-	0,4339	0,1882	0,0817	0,0154	0,0067	0,0013	0,0005	0,0002	0,0000	0,0000	0,0019
H	-	0,5499	0,2848	0,1423	0,0333	0,0158	0,0035	0,0016	0,0007	0,0002	0,0000	0,0051
J	-	0,8667	0,7076	0,5571	0,3238	0,2419	0,1318	0,0965	0,0704	0,0372	0,0053	0,1538
K	-	0,9993	0,9757	0,8983	0,6720	0,5665	0,3878	0,3330	0,2789	0,1966	0,0722	0,5069
L	-	0,8181	0,6540	0,4930	0,2472	0,1706	0,0803	0,0550	0,0378	0,0178	0,0020	0,0970
M	-	0,9670	0,8859	0,7712	0,5241	0,4204	0,2660	0,2112	0,1680	0,1069	0,0292	0,2985
Pобщ	-	0,9432	0,8427	0,7155	0,4926	0,3619	0,2178	0,1687	0,1308	0,0792	0,0186	0,2475
15'	-	1,0000	1,0000	1,0000	0,9990	0,9954	0,9660	0,9335	0,8871	0,7599	0,3400	0,9773
Pобщ'	-	0,9752	0,9436	0,8852	0,6991	0,5984	0,4164	0,3392	0,2720	0,1678	0,0326	0,5187

Рисунок 7 - Зависимость P_общ от t

По графику (Рисунок 7, кривая Р_общ) находим для γ = 50% (Р = 0.5) γ-процентную наработку системы t = 2,5·10⁵ ч, расчет при t = 2,5·10⁵ ч показывает (Таблица 2), что P_γ = 0,4926~ 0,5.

По условиям задания находим время, превышающее в 1,5 раза время, соответствующее вероятности безотказной работы, равное 0,5 (P_γ = 0,5):

. (14)

= 2,5·1,5·10⁵ = 3,75·10⁵ ч. (15)

Расчет показывает (Таблица 2), что при = 3,75·10⁵ ч для элементов преобразованной схемы (Рисунок 6) p₁( ) = 0,8290 и P_M( ) = 0,2985. Следовательно, из двух элементов входящих в последнюю схему наименьшую вероятность безотказной работы имеет элемент P_M, и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

P_M = 1 - ((1 - P_L) · (1 - p₈)) (16)

Элемент M в свою очередь состоит из P_L( ) = 0,0970 и p₈( ) = 0,2231. Из двух элементов входящих в схему наименьшую вероятность безотказной работы имеет элемент P_L, и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

P_L = P_K · p₁₅ (17)

Элемент L в свою очередь состоит из P_K ( ) = 0,5069 и p₁₅ ( ) = 0,2231. Из двух элементов входящих в схему наименьшую вероятность безотказной работы имеет элемент P₁₅, и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

Для того чтобы при = 3.75  10⁵ ч система в целом имела вероятность безотказной работы P' = 0,5, надо найти необходимую вероятность безотказной работы системы. Так как:

0,5 = P_K · p₁₅', (18)

где p₁₅' – необходимая вероятность безотказной работы элемента 15

p₁₅' = 0,5 / P_K (19)

p₁₅' = 0,98

Добавляя к элементу 15 параллельно элементы с такой же вероятностью, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента 15' не достигнет заданного значения:

- добавляем элемент 16, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)² = 0,3965<0,98 (20)

- добавляем элемент 17, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)³ = 0,5311<0,98

- добавляем элемент 18, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)⁴ = 0,6359<0,98

- добавляем элемент 19, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)⁵ = 0,717<0,98

- добавляем элемент 20, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)⁶ = 0,7802<0,98

- добавляем элемент 21, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)⁷ = 0,8292<0,98

- добавляем элемент 22, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)⁸ = 0,8673<0,98

- добавляем элемент 23, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)⁹ = 0,8969<0,98

- добавляем элемент 24, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)¹⁰ = 0,9199<0,98

- добавляем элемент 25, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)¹¹ = 0,9378<0,98

- добавляем элемент 26, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)¹² = 0,9517<0,98

- добавляем элемент 27, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)¹³ = 0,9625<0,98

- добавляем элемент 28, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)¹⁴ = 0,9708<0,98

- добавляем элемент 29, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)¹⁵ = 0,9773<0,98

- добавляем элемент 30, получаем:

p₁₅' = 1-(1-p₁₅)¹⁶ = 0,9824>0,98

Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня, необходимо в схеме (Рисунок 4) параллельно элементу 15 достроить элементами 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 и 29 (Рисунок 8).

Рисунок 8 - Структурная схема надежности после добавления резервирующих элементов

Расчеты показывают, что при t' = 3,7510⁵ ч, Р_общ' = 0,5187 > 0,5, что соответствует условию задания.

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элемента 15' и системы в целом Р_общ' представлены в таблице 2.

График вероятностей до и после добавления резервирующих элементов представлен на рисунке 9.

Рисунок 9 - Зависимость P_общ и P_общ' от t