60. Объём цилиндра. Объём тела по площадям параллельных сечений.

Пусть имеется тело ограниченное сверху и снизу некоторой квадрируемой областью с высотой H, тогда V=S_основ*H.

Пусть тело ограничено некоторой замкнутой поверхностью. Примем какую-нибудь прямую за ось ОХ. И пересечём тело плоскостями перпендикулярными оси ОХ. Тогда в сечении получатся плоские фигуры, площади которых зависят от Х. Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками . Через каждую точку проведём сечение параллельное некоторой плоскости P. В каждом частичном сегменте возьмём некоторую точку «кси итая». S(«кси итая»)-площадь, , тогда . , далее объём равен пределу и далее интегралу .

61. Объём тела вращения

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

62. Длина дуги кривой.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать что Т.е.

63. Длинна дуги кривой заданной в явном виде.

Теор.: Пусть кривая АВ задана вуравнением y=f(x), где f(x) и f’(x) – непрерывные на отрезке [a,b] функции, тогда длинна дуги: (для доказательства нужно разбить кривую точками).

64. Длинна дуги кривой заданной в полярных координатах. Площадь поверхности вращения.

Пусть кривая АВ задана в полярных координатах АВ: =() (- фи). Представим кривую в параметрическом виде, взяв в качестве параметра угол , и применим формулы соответствия декартовых координат с полярными.

Далее находим (x’)²+(y’)²=…= . Затем подставляем в формулу длинны дуги для параметрического уравнение и получаем:

Площадь поверхности вращения: f(x) и f’(x) – непрерывные на [a,b].

65. Физические приложения определённых интегралов.

1. Пусть материальная точка под воздействием силы F не меняет ни значения ни направления, тогда работа: A=F*L.

Если F меняется по значению и не меняет направление, тогда работа: .

2. s, t  , v,t  s(t)=

3. Координаты центра тяжести.

1) Если на плоскости xOy дана система материальных точек P_i(x_i,y_i), то x_im_i,y_im_i – статические моменты массы m_i относительно осей.

2) Нахождение координат центра тяжести плоской кривой: .

3) Координаты центра масс:

66. Первая и вторая теорема Гульдина.

Теор1.: Площадь поверхности получающаяся от вращения плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей данную кривую, равна произведению длинны окр, описываемой центром тяжести этой кривой на длину кривой.

Док-во: Сначала нужно записать формулу Y_c , выразить числитель, умножить на два пи, тогда с лева будет S-поверхности вращения.

Теор2.: Объём тела полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей её, равна произведению площади этой фигуры на длину окружности, описываемую центром тяжести этой фигуры.

Док-во: , где - площадь области. Далее домножаем на два пи. И слева получается «Объем тела вращения».