- •54. Биномиальным дифференциалом называется выражение вида
- •55. Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение определённого интеграла.
- •56. Условия существования определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
- •57. Вычисление определённого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
- •58. Вычисление площадей с помощью определённого интеграла. Вычисление площадей в параметрической форме.
- •59. Вычисление площади фигуры в полярных координатах.
- •60. Объём цилиндра. Объём тела по площадям параллельных сечений.
- •61. Объём тела вращения
- •62. Длина дуги кривой.
- •63. Длинна дуги кривой заданной в явном виде.
- •64. Длинна дуги кривой заданной в полярных координатах. Площадь поверхности вращения.
- •65. Физические приложения определённых интегралов.
- •66. Первая и вторая теорема Гульдина.
- •67. Интегралы с бесконечными границами. Несобственные интегралы.
- •68. Несобственный интеграл от неограниченной функции.
- •69. Функции многих переменных. Предел. Непрерывность. Теорема о непрерывных функциях.
- •70. Частные производные и их геометрический смысл. Производные по направлению. Градиент и его св-ва.
- •71. Самый длинный предпоследний вопрос.
- •72. Производные и дифференциалы сложных ф-й нескольких переменных.
54. Биномиальным дифференциалом называется выражение вида
, a,bR, m,n,p Q .
I. р – целое, р 0.
р<0, p-N, нужно делать замену переменной t= , где S=НОК(m,n).
II. p – дробное, но – целое. Пусть р =r/s, t=
III. p – дробное, – дробное, +р – целое,
p= r/s, t= = .
55. Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение определённого интеграла.
Задача о площади криволинейной трапеции: Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную y=f(x), разобьём её точками a=x0<x1<…<xn=b, . В каждом из частичных сегментов выберем точку «кси итая».
. Обозначим через если существует конечный предел интегральной суммы при лямбда , то этот предел – площадь криволинейной трапеции.
Опр.: Пусть дана ф-я f(x) на [a,b]. Разобьём отрезок точками a=x0<x1<…<xn=b, . В каждом из частичных сегментов выберем точку «кси итая». Обозначим через . Если существует конечный предел , то он наз определённым интегралом от f(x).
56. Условия существования определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
Теор.: (необходимое условие существования определённого интеграла) для того чтобы существовал определённый интеграл необходимо чтобы ф-я была непрерывна на интервале интегрирования.
Док-во: (метод от противного) пусть ф-я интегрируемая но не ограниченная на [a,b]….
Теор.: (дост. условие существования определённого интеграла) Если ф-я непрерывна на [a,b], то она интегрируема на нем.
Свойства определенного интеграла.
Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то
Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
8)
57. Вычисление определённого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то .
Замена переменных.
Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).
Тогда если
1) () = а, () = b
2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]
3) f((t)) определена на отрезке [, ], то , тогда
Интегрирование по частям.
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
58. Вычисление площадей с помощью определённого интеграла. Вычисление площадей в параметрической форме.
Пусть кривая задана параметрически, тогда .
59. Вычисление площади фигуры в полярных координатах.
Пусть дан сектор АВО, ограниченный кривой АВ и двумя радиус векторами. >0 и непрерывная на . Разобьем сектор на n произвольных частей углами . Выберем в каждом сегменте точку «кси итая» r=r(«кси итая»). S=0.5*R2*l. Значит площадь сегмента = . Площадь всего сектора это сумма этих площадей. Тогда переходим к интегралу: .