1. Признаки убывания и возрастания функции.

Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции. Если f’(х)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

2. Необходимый и достаточный признаки экстремума функции.

Точки экстремума – точки максимума и минимума.

Экстремумы функции – значение функции, соответствующие точкам минимума и максимума

1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в ε - окрестности точки x, а в самой точке x непрерывна. Тогда

Если f’(х)>0 при x є (x-ε;x) и f’(х)<0 при x є (x;x+ε), то x - точка максимума;

Если f’(х)<0 при x є (x-ε;x) и f’(х)>0 при x є (x;x+ε), то x - точка минимума;

если в точке x функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то x - точка максимума;

если в точке x функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то x - точка минимума.

2. Пусть f’(х)=0,

Если f’’(х)>0, то х - точка минимума;

Если f’’(х)<0, то х - точка максимума.

3. Пусть функция y = f(x) имеет производные до n-ого порядка в ε - окрестности точки x и производные до n+1-ого порядка в самой точке x. Пусть f’(х)=f’’(х)=f’’’(х)=…=fn(х) и f(n+1)(х)≠0.

Тогда,

Если n – четное, то x - точка перегиба;

Если n – нечетное, то x - точка экстремума.

Причем,

Если f(n+1)(х)>0, то x - точка минимума;

Если f(n+1)(х)<0, то x - точка максимума.

3. Точки перегиба графика функции. Признаки выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба.

чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции:

1.находим вторую производную;

2.находим нули числителя и знаменателя второй производной;

3.разбиваем область определения полученными точками на интервалы;

4.определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.

Точка (x;f(x)) называется точкой перегиба, если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через x.

Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.

В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки x=±1/2, а они не входят в область определения функции.

4. Асимптоты кривой. Общая схема исследования и построение графика функции.

Вертикальная асимптота – прямая вида x=a при условии существования предела

Горизонтальная асимптота – прямая вида y=a при условии существования предела (так же является частным случаем наклонной асимптоты)

Наклонная асимптота – прямая вида y=kx+b при условии существования пределов

Полное исследование функции:

1. Находим область определения функции

2. Исследуем общие свойства функции: четность, нечетность, периодичность

3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат

4. Исследуем непрерывность функции, находим точки разрыва

5.Ноходим асимптоты графика функции

6. Находим критические точки и интервалы монотонности.

7. Находим точки перегиба и интервалы выпуклости.

8. На основании проведенного исследования строим график.