Три леми

1. Якщо на ненавантаженому вузлі збігаються 2 стержні, один з яких знаходиться під кутом до іншого, то обидва ці стержні будуть нульовими.

2. Якщо в ненавантаженому вузлі збігаються 3 стержні, 2 з яких знаходяться на одній лінії дії, а третій розташований під кутом до них, то цей стержень (3) буде нульовим, а обидва інших з модулем рівні.

3. Якщо в навантаженому вузлі збігаються 2 стержні вздовж одного з яких спрямована активна сила, то другий стержень буде нульовим, а перший за модулем дорівнює силі.

Тертя

N – нормальна реакція, f – коефіцієнт тертя ковзання (безрозмірна величина) залежить від матеріалу з якого зроблено це тіло.

– сила тертя;

- (коли переходить зі стану спокою в стан руху)

(коли в рівновазі)

Це все закон Амонтана Кулона .

Геометричне місце усіх положень граничної сили R називається конусом тертя.

– граничне значення, коли тіло починає рухатись. ; ϕ – це кут тертя.

Якщо рівнодійна всіх сил знаходиться всередині конуса тертя, то тіло знаходиться в рівновазі. В протилежному випадку тіло буде рухатись.

- це коефіцієнт тертя кочення (лінійна величина) N*h – момент кочення М^коч.

Система сил довільно розташована у просторі

Головний вектор R^* = F₁+F₂+…+F_n= - дорівнює геометричній сумі всіх сил. R^* є де x, y, z – проекції головного вектора і його модуль дорівнює , а напрямки як завжди по напрямним косинусам . R^* є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, I, j, k – одиничні вектори, що показують напрямки x, y, z.

Також відомо, що головний момент відносно точки можна розкласти по одиничним векторам M₀ = iM_x+jM_y+kM_z.

Система сил, довільно розташована в просторі зводиться до головного вектора і моменту відносно центра зведення.

Зведення системи сил до найпростішого вигляду

1. R^* = 0; M=M₀= =0. Система сил взаємнозрівноважуюча.

2. R^* = 0; M=M₀≠0. Система сил зводиться до пари сил(обертання)

3. R^* ≠ 0; M=M₀=0. Буде відсутній момент. Система сил зводиться до однієї сили (рівнодійної), лінія дії якої проходить через центр зведення.

4. R^* ≠ 0; M=M₀≠0, R^*перпендикулярний М₀. Система сил зводиться до однієї сили (рівнодійної) лінія якої не проходить через центр зведення, а на відстані d. .

5. R^* ≠ 0; M=M₀≠0, R^* не перпендикулярний М₀. (це неможливо для паралельних сил) Система сил зводиться або до двох мимобіжних, або до силового гвинта (динамо).

Сума проекцій сил на відповідні координатні осі дорівнюють нулю і сума складових моментів відносно координатних осей дорівнюють нулю. Невідомих не повинно бути більше 6.

Складання паралельних сил Рівняння рівноваги паралельних сил

С – тичка прикладення. Якщо сили паралельні осі Z, то проекції цих сил на відповідні координатні осі Ox i Oy будуть дорівнювати 0, а . Таким чином для паралельних сил маємо 3 рівняння рівноваги(1 рівняння проекції сил і 2 рівняння моментів . Для паралельних сил «динамо» неможливе.

Зведення системи сил до рівнодійної

Теорема Варіньйона(про момент рівнодійної сил довільно розташованих у просторі) – момент рівнодійної сили довільно розташованої у просторі відносно будь-якого центру дорівнює геометричній сумі моментів складових відносно того ж центра, а момент рівнодійної відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових відносно тієї ж осі.

, а напрямки моментів рівнодійної відносно центра і момент складових відносно того ж центра співпадають за означенням цих моментів.

Сукупність момента пари сил і рівнодійної називається силовим гвинтом (або динамо).

Центральна вісь симетрії сили – лінія вздовж якої розташована рівнодійна і момент пари сил.

Аналітична умова зведення системи сил до рівнодійної

Як нам відомо зведення до рівнодійної має дві умови: (R^* ≠ 0; M=M₀=0) і (R^* ≠ 0; M=M₀≠0, R^*перпендикулярний М₀). R^*={X;Y;Z} – проекції головного вектора на відповідні координатні осі. M₀={M_x; M_y; M_z} – моменти сил відносно координатних осей. З (1) x²+y²+z²≠0, з (2) XM_x+YM_y+ZM_z=0.

Тверде тіло з однією або двома закріпленими точками

Для того,щоб тіло з однією закріпленою точкою знаходилося у рівновазі необхідно, щоб сума моментів сил відносно координатних осей дорівнювала 0.

Для того, щоб тіло з двома закріпленими точками знаходилося в рівновазі необхідно щоб момент сили відносно осі, що проходить через два шарніра дорівнював 0.

Центр тяжіння

Центр паралельних сил не зміниться, якщо всі сили повернути на якийсь однаковий кут α.

; - радіус вектор. - координати центра паралельних сил.

Сили тяжіння

Можна вважати, що сили притягання окремих частинок спрямовані до центра, а так, як ці сили дуже малі, порівняно з радіусом, то їх модна вважати паралельними. Тоді рівнодійна цих сил називається силою тяжіння, а точка прикладення сили тяжіння називається центром сили тяжіння.

Якщо тіло рівномірне – розіб’ємо його на рівні об’єми ∆V₁, ∆V₂, ∆V_k і підставимо в формулу для знаходження координаті центра паралельних сил ; ; , де V-об’єм всього тіла, γ – вага одиниці об’єму тіла.

Центр тяжіння плоскої пластини

ω – вага одиниці площі плоскої пластини.

; . Статичний момент площі плоскої фігури відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементарних площ, які входять до складу площі плоскої пластини на алгебраїчне значення їх відстаней до цієї осі ;

Центр тяжіння лінії

Кінцева лінія довжино L, де G=ρ*L, ρ – одиниця довжини цієї лінії Для однорідної лінії кінцевої довжин центр тяжіння знаходиться по середині.

Центр тяжіння кола і кулі збігається з їх геометричним центром тяжіння.

Центр тяжіння трикутника знаходиться в точці перетину медіан.

Знаходження центра тяжіння плоскої пластини по центрам тяжіння його частин

Плоска пластина ; . І підставляємо в ; .

Спосіб від’ємних площ якщо в просторі, то рівнянь буде 3.

Допоміжні теореми

1. Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, то центр тяжіння знаходиться на цій осі: Z - вісь симетрії

2. Якщо однорідне тіло має площину симетрії, то центр тяжіння знаходиться в цій площині.

Центр тяжіння дуги кола

Дуга кола AB, однорідна лінія (х – буде віссю симетрії), згідно допоміжної теореми центр тяжіння знаходиться на осі симетрії. Для знаходження центра тяжіння досить знайти одну координату(абсцису)

ϕ_к визначає положення центра тяжіння .

Центр тяжіння площі сектора

Розіб’ємо цей сектор на елементарні трикутники. З’єднали центри тяжіння трикутників і шукаємо центр тяжіння лінії.

Центр тяжіння півкола ; Центр тяжіння дуги півкола