Действие как функция координат. Уравнение Гамильтона-Якоби.

И, наконец, еще одна схема построения механики, которая оказалась полезной и для оптики, и для квантовой механики.

В этой лекции мы будем рассматривать действие (интеграл (1.1)) как функцию конечного момента времени t₂ и конечной координаты q₂, но в качестве путей перемещения мы будем использовать только истинные пути. Вспомните, что на первой лекции мы рассматривали всевозможные пути, а, минимизируя действие, находили истинные. Теперь считаем, что истинные, т.е. зависимость координат от времени уже знаем, ее и подставляем в интеграл (1.1). Наша цель сейчас вычислить полный дифференциал такой функции.

Вычислим сначала дифференциал действия, считая, что конечный момент времени t₂ фиксирован, меняется только конечная координата q₂. Из первой лекции для вариации действия имеем

S = (L/q^.) q| _t1^t2 + _t1^t2[(L/q) – (d/dt) (L/q^.)] qdt

Поскольку конечный момент считаем фиксированным, это выражение справедливо (не нужно добавлять часть, связанную с изменением верхнего предела интеграла). Но поскольку траектории действительного движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа (1.2), то стоящий здесь интеграл равен нулю. В первом же члене полагаем на нижнем пределе q(t₁) = 0, а значение q(t₂) обозначим просто как q. Заменив также L/q^. на p, получим

S/q_i = p_i (3)

здесь мы от одной обобщенной координаты перешли к случаю наличия многих.

Чтобы найти изменение S при бесконечно малом изменении конечного момента t₂, используем следующий искусственный прием. По самому определению действия (1.1) его полная производная по времени равна

dS/dt = L (4)

C другой стороны, рассматривая S как функцию координат и времени в указанном выше смысле и используя формулу (3), имеем

dS/dt = S/t + _i(S/q_i)q_i^. = S/t + _ip_iq_i^.

и, сравнивая эту формулу с (4), имеем

S/t = L - _ip_iq_i^.

и окончательно, учитывая определение энергии (2.2),

S/t = - Н, S/q_i = p_i

Таким образом, полный дифференциал действия при изменении координат и времени, как следует из (3), (5) имеет вид:

dS = - Н dt + _i p_i dq_i (6)

Это и есть то, чего мы добивались.

Поскольку энергия, выраженная через координаты и импульсы, называется функцией Гамильтона H(q, p, t), уравнения (6) можно записать в виде

S/t + H(q₁,… q_s; S/q₁,… S/q_s; t) = 0 (7)

Это уравнение в частных производных первого порядка называется уравнением Гамильтона-Якоби. Оно наряду с уравнениями Лагранжа (1.2) и каноническими уравнениями (1) также описывает движение механических систем.

Однако, как это сделать из (7), – это непросто, я об этом говорить не буду.