Задача двух тел

Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит только от расстояния между ними, поэтому функция Лагранжа для системы двух взаимодействующих частиц равна:

L = m₁r₁^.2/2 + m₂r₂^.2/2 – U(|r₁ - r₂|)

Введем вектор расстояния между точками

r = r₁ – r₂

и поместим начало координат в центре инерции, т.е. координату центра тяжести (2.7) приравняем нулю:

m₁r₁ + m₂r₂ = 0

откуда

r₁ = [m₂/(m₁ + m₂)] r, r₂ = - [m₁/(m₁ + m₂)] r

Для функции Лагранжа получаем:

L = mr^.2/2 – U(r), m = m₁m₂/(m₁ + m₂)

Величина m называется приведенной массой двух частиц.

Таким образом, мы свели задачу двух частиц (6 степеней свободы) к задаче одной частицы (3 степени свободы) в поле, зависящем только от расстояния до некоторой неподвижной точки. Такое поле (как было уже сказано в лекции 2) называют центральным.

Движение в центральном поле

Как было показано в лекции 2, в центральном поле сохраняющимися величинами являются энергия (2.3) и момент импульса (2.8). Поскольку векторы M и r взаимно перпендикулярны, движение частицы лежит в одной плоскости, перпендикулярной M. Введя в этой плоскости полярные координаты, запишем функцию Лагранжа в виде

L = (m/2)(r^.2 + r²^.2) – U(r)

Проекция M на нормаль к плоскости, в которой происходит движение, в полярных координатах есть

M_z  M = mrv_t = mr²^. = const (2)

v_t – перпендикулярная радиусу вектору частицы составляющая скорости. Записывая энергию частицы (2.3) в полярных координатах и подставляя выражение для ^. из (2), получаем

t = dr/{(2/m)[E – U(r)] – M²/m²r²}^1/2 + const (3)

Отсюда по аналогии с (1) получаем связь между t и r, а, написав (2) в виде

d = Mdt/mr²

подставляя сюда dt из (3), находим

 = M/r²)dr/{2m[E – U(r)] – M²/r²}^1/2 + const (4)

Формулы (3), (4) полностью решают задачу в общем виде.

СамостоятельноДвижение твердого тела

В механике под твердым телом понимают систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны.

Введем две системы координат: лабораторную, в которой будем рассматривать движение (координаты точек в ней обозначим как r) и жестко связанную с телом, начало отсчета которой поместим в его центр тяжести (координаты – r). Тогда бесконечно малое

смещение, очевидно, можно записать как (см. формулу для малого поворота в лекции 2):

dr = dR + [dr]

где R координата центра тяжести тела в лабораторной системе, d - угол поворота тела. Отсюда для скорости v точек тела в лабораторной системе получаем

v = V + [r] (5)

где v = dr/dt, V = dR/dt,  = d/dt

 - вектор угловой скорости вращения тела.

Подставляем (5) в выражение (1.3) для функции Лагранжа:

L = T – U, T = (m/2)(V + [r])² = (m/2)V² + mV[r] + (m/2) [r]²

Нумерующий точки тела индекс для простоты записи опускаем. За знак суммы можно вынести  и V, одинаковые для всех точек тела. Учитывая также, что mr = 0, поскольку начало отсчета связанной с телом системы выбрано в центре инерции (радиус-вектор центра инерции (2.7) в этой системе равен нулю), получим

T = V²/2 + (1/2)m{²r² – (r)²} = Т_поступ + Т_вращ (6)

В выражении для вращательной энергии мы фактически использовали формулу sin² = 1 – cos²: векторное произведение в предыдущей формуле – произведение величин на sin, скалярное здесь – на cos.

суммарную массу мы обозначили буквой . Далее в этой лекции мы будем пользоваться латинскими буквами в индексах для обозначения компонент векторов

Т_вращ = (1/2)_ikm(_i²r_k² - _ir_i_kr_k) = (1/2) _ik_i_km(_lr_l²_ik – r_ir_k)

Последнее равенство вы легко проверите, поскольку знаете символ Кронекера.

Окончательно для функции Лагранжа имеем:

L = V²/2 + (1/2) _ikI_ik_i_k – U (7)

где величина

I_ik = m(_l r_l² _ik – r_ir_k) (8)

называется тензором моментов инерции тела или просто тензором инерции. Жаль, что вы не изучали тензоров, это незаменимая вещь в теорфизике, многое упрощает. Но для наших целей достаточно и того, что мы написали. Если тело можно рассматривать как сплошное, то сумма по частицам, естественно, заменяется интегралом по объему тела

I_ik = (_lr_l² _ik - r_ir_k)dV (9)

 - плотность.

Выбирая в качестве обобщенных координат R и  (6 степеней свободы) получим из уравнений Лагранжа (1.3) уравнения движения твердого тела:

V^. = F, M^. = K (10)

где

F = - U/R, M_i = _k I_ik _k, K = - U/

При дифференцировании L по _i одна сумма пропадает, т.к. i – конкретная координата, ½ пропадает, поскольку выражение квадратично по .

Здесь F – суммарная сила, действующая на тело, K – момент сил, действующих на тело. Вектор M – это момент импульса тела, в чем можно убедиться, подставляя в определение момента импульса (2.8) выражение (5) для скорости:

M_i = _km{_lr_l²_i – r_ir_k_k} (11)

Уравнения (10) полностью определяют как поступательное, так и вращательное движение тела.

Лекция 4

Гамильтонов формализм

На прошлых 2-х лекциях мы познакомились с мощным и элегантным способом построения механики – это конструкция, которая базируется на принципе наименьшего действия Гамильтона, в котором используется функция Лагранжа, а она есть функция координат и скоростей материальных точек. Но координаты и скорости – это не единственный способ задания состояния механической системы, вместо скоростей можно с тем же успехом использовать импульсы частиц. Казалось бы, какая разница, импульсы – это просто скорость на массу. А, вот, оказывается, что это часто более удобный способ описания, в теорфизике им пользуются чаще, он более удобен для анализа общих вопросов механики и именно от него пролегла прямая дорога в квантовую механику. И, вообще, чем больше способов описания, тем лучше, тем больше возможностей решать задачи.

Я утверждаю, что если независимыми переменными считать координаты и импульс, то вместо функции Лагранжа удобно пользоваться другой функцией – уже известной нам энергией.

Энергия системы, записанная как функция обобщенных координат и импульсов, называется функцией Гамильтона (обозначается буквой H). Гамильтонов формализм в механике – это описание с помощью координат и импульсов в качестве независимых переменных.

Посмотрим, почему же удобно пользоваться энергией. Запишем полный дифференциал энергии (для упрощения записи не буду в выводах писать суммы по многим переменным, напишу в конечных формулах)

dH = d((L/q^.)q^. – L) = d(pq^. – L) = q^.dp + pdq^. – (L/q)dq – (L/q^.)dq^. = 2-й и 4-й члены сокращаются, в этом и удобство, выпадает переменная, которая нам не нужна) = q^.dp - p^.dq.

При последнем преобразовании мы использовали уравнение Лагранжа (1.2) и определение импульса (2.5). Отсюда для частных производных следует

q^._i = H/p_i, p^._i = - H/q_i (1)

Это и есть уравнения движения, называемые уравнениями Гамильтона. Их вдвое больше, чем уравнений Лагранжа (1.2) (2s вместо s), зато это дифференциальные уравнения первого порядка, а Лагранжа – второго.

В декартовых координатах функция Гамильтона имеет вид

H = _a p_a²/2m_a + U (2)

(см. (2.3) с учетом p_a = m_av_a).

Из (1) и (2) видно, что первое уравнение – это просто определение скорости (v = p/m), а второе – 2-й закон Ньютона.