
1.2 Десятичная запись приближенных чисел
Всякое положительное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби
(1.7)
Где
- цифры числа
,
,
-
некоторое целое число (старший десятичный
разряд числа
)
Определение. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он находится между значащими цифрами.
Нуль в начале и конце числа имеет различные значения:
- нули, стоящие в начале чисел, до цифр отличных от нуля, не являются значащими;
- нули, которые стоят в конце числа, после последней цифры отличной от нуля, имеют двойной смысл:
1. 1кг = 1000г – в этом случае имеет место точное соотношение и поэтому все нули в таких соотношениях – значащие цифры;
2. Население бывшего Советского Союза 280.530.000 человек – в этом случае нули стоят вместо неизвестных цифр и в таких случаях – нули незначащие цифры. Для того чтобы избежать недоразумений, никогда не следует писать нули вместо неизвестных цифр, лучше всего принять такую форму записи числа 28053*104 или 2,8053*108, т.к. нули в конце этого числа только определяют его порядок.
Определение.
Говорят, что
первых значащих цифр
(десятичных знаков) приближенного числа
являются верными
в узком смысле,
если абсолютная погрешность этого числа
не превышает половины единицы разряда,
выражаемого
значащей цифрой, считая слева направо
(1.8)
или являются верными в широком смысле, если
(1.9)
Если положительное
приближенное число
имеет
верных десятичных знаков в узком
смысле
,
то
(1.10)
или в широком смысле
(1.11)
Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее число неверных цифр прибегают к округлению.
Округление проводят так, чтобы погрешность округления была минимальной. Для этого придерживаются следующего правила округления: если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то все оставляемые цифры не изменяют, если больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу.
Если при округлении числа оставляют значащих цифр на одну больше, чем верных, то эта оставленная цифра называется сомнительной.
1.3 Общая формула для погрешности (Прямая задача теории погрешностей)
Прямая
(основная) задача теории погрешностей
заключается в вычислении погрешности
результата математических действий,
если известны погрешности аргументов.
При этом действия над аргументами можно
представить в виде функции
,
-
дифференцируемая функция;
- предельные
абсолютные погрешности аргументов
.
Предельная абсолютная погрешность функции
,
(1.12)
Предельная относительная погрешность функции
(1.13)
Формула (1.13) получена путем деления (1.12) на
Пример 1.1
,
Из этого следует, что предельная абсолютная погрешность суммы, не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного (в смысле абсолютной погрешности) из слагаемых, т.е. слагаемого, имеющего максимальную абсолютную погрешность. Следовательно, с какой бы степенью точности ни были определены остальные слагаемые, мы не можем за их счет увеличить точность суммы. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых. Отсюда вытекает следующее, обычно применяемое практическое правило для сложения приближенных чисел:
- выделить числа, десятичная запись
которых обрывается ранее других и оставить
без изменения;
- остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два
запасных десятичных знака;
- произвести сложение данных чисел,
учитывая все сохраненные знаки;
- полученный результат округлить на один
знак.
Пример 1.2
,
Из результата
вычисления
вытекает,
что
может быть весьма большой, если
приближенные числа
и
достаточно близки друг к другу, в то
время как их погрешности (абсолютные и
относительные) остаются малыми, т.е.
здесь происходит потеря точности.
Исходя из вышесказанного получаем еще одно практическое правило:
- при приближенных вычислениях следует избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел;
- если же приходится вычитать такие числа, то следует преобразовывать такие выражения, или (если такая возможность имеется) уменьшаемое и вычитаемое брать с достаточным числом запасных верных знаков.
Т.о., примеры на определение погрешности суммы, разности, произведения, частного, корня, степени дали возможность выработать рекомендации по выполнению массовых вычислений ( без точного учета погрешностей ):
- при сложении и вычитании младший сохраненный десятичный разряд результата должен являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними значащими цифрами исходных данных;
- при умножении, делении следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет исходное данное с наименьшим числом верных цифр;
- при возведении в степень следует сохранять столько значащих цифр, сколько верных цифр основания степями.
- при извлечении корня в результате следует брать столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное выражение;
- если некоторые данные имеют излишние младшие десятичные разряды (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр, чем другие (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), то их предварительно нужно округлить, сохраняя одну (две) запасные цифры;
- во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну (две) цифры больше, чем рекомендуют предыдущие правила, в окончательном результате одна из оставленных цифр отбрасывается.
Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы:
1. Решить задачу различными численными методами.
2. Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются существенно, задача или метод ее решения являются неустойчивыми. Далее скорректировать задачу или (и) выбрать другой метод.