8. Ответить на контрольные вопросы.

Общие сведения

Пусть имеется сложная система управления. Для аппроксимации локального участка функции отклика и исследования целевой функции у в области экстремума (стационарной области) используется регрессионная модель второго порядка вида (3.1).

Задача состоит в том, чтобы по результатам эксперимента, проведенного в соответствии с ротатабельными композиционными планами, найти оценки коэффициентов уравнения регрессии к на основе полученного описания системы предсказать оптимальные значения управляемых пере­менных (как отмечалось ранее, ротатабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения функции отклика с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана). Ротатабельный центральный композиционный план для математической модели второго порядка может быть получен путем добавления к N ф точек ядра плана N _а звездных точек с координатами (± а,0,...,0),...,(0,...,0,± а),а также Nо точек в центре плана.

Величина плеча а для ротатабельного плана второго порядка вычисляется по формуле

A=2^(k-p)/4

Число опытов Nо в центре плана выбирается из следующих соображений. Выдвигается требование, чтобы информация о значении выходной переменной оставалась неизменной для точек внутри сферы единичного радиуса с центром в центре плана. Иными словами, требуется, чтобы информационный профиль ротатабельного плана мало изменялся при значениях радиуса от 0 до 1. Планы, удовлетворяющие этому условию, называются ротабельными униформ-планами.

Униформ-план можно получить, меняя число точек в центре композиционного плана второго порядка. В табл.4.1 приведены значения плеча а ,числа точек в центре плана N о, звездных точек N а и общего числа точек N для ротатабельных униформ-планов второго порядка.

Таблица 4.1

Размерность	Ядро плана	Nф	Na	No	N	
2	22	4	4	5	13	1,414
3	23	8	6	6	20	1,682
4	24	16	8	7	31	2,000
5	25	32	10	10	52	2,378
5	25-1	16	10	6	32	2,000
6	26	64	12	15	91	2,828
6	26-1	32	12	95	53	2,378
7	27	128	14	21	163	3,333
7	27-1	64	14	14	92	2,828

Формулы для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии в нормированной системе координат имеют вид

;

где

В формулах значения x_ij, x_lj берутся из матрицы ротатабельногс планирования.

Оценки коэффициентов b_i и b_il получаются не зависимыми друг oт друга, а оценки коэффициентов b₀ и b_ii коррелированы между собой,

Оценки дисперсии оценок коэффициентов регрессии определяются по формулам

Оценка значимости коэффициентов регрессии проводится по t - критерию по изложенной в работе 1 методике с v = q - 1 степенями свободы. Ширина доверительных интервалов для коэффициентов регрессии

b= ±(t_a_b).

Значение t_a. находится из таблиц (приложение 2) исходя из заданного уровня значимости а и числа степеней свободы дисперсии воспроизводимости D вос. Значимость коэффициентов регрессии проверяется сравнением доверительных интервалов с абсолютной величиной коэффициентов регрессии.

Проверка адекватности модели проводится с помощью F-критерия

Фишера:

F=D_ад/D_вос

где D _ад — дисперсия адекватности, определяющая рассогласование результатов эксперимента у_i со значениями выходной переменной у_i; , вычисленными из модели (3.4); D _вос — оценка дисперсии ошибок наблюдений (дисперсия воспроизводимости) (3.3).

Если F < F_кр при заданном уровне значимости для числа степеней свободы числителя v_aд = N-d и v_вос =q-l знаменателя, то гипотеза об адекватности модели принимается.

В случае адекватности модели она используется для анализа поверхности отклика и поиска положения точки оптимума. В противном случае следует изменить интервалы варьирования переменных или перейти к построению модели более высокого порядка.

Пересчет коэффициентов модели для использования значения входных переменных в натуральных единицах производится по формулам, используемым в работе 3.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

— задание;

— план эксперимента;

— полученную нелинейную модель;

— результаты проверки на значимость;

— результаты проверки на адекватность;

— результаты поиска экстремума с использованием модели;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. Какое планирование называется ротатабельным?

2. Какие планы эксперимента используются при ротатабельном планировании второго порядка?

3. Как определяется величина плеча а в ротатабельном планировании?

4. Что означает понятие «информационный профиль» плана?

5. Чем определяется в ротатабельном планировании число центральных точек N₀?

6. Какой критерий оптимальности плана применяется в ротатабель­ном планировании?

7. Когда применяется ротатабельное композиционное планирование?

8. Чем отличается дробный факторный эксперимент от ротатабельного планирования?

9. Как переводится уравнение для нормированных величин в уравнение для физических величин?

Работа 5. ПОСТРОЕНИЕ D - ОПТИМАЛЬНЫХ ПЛАНОВ

Цель работы — изучение численных методов построения D- оптимальных планов и получение практических навыков их использования.

Порядок выполнения работы

Работу следует выполнять в таком порядке :

1. Для модели объекта, заданной пользователем, построить непрерывный D-оптимальный план. С этой целью требуется разработать алгоритм и составить программу:

— определить точки спектра непрерывного D-оптимального плана;

• определить частоту наблюдений в каждой точке спектра.

2. Проверить отличие полученного плана от точного D-оптимального.

3. На основании полученного непрерывного D-оптимального плана определить точный D-оптимальный план для заданного числа наблюдений.