Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Теория вероятностей в примерах и задачах / Kolemaev

.pdf

Скачиваний:

229

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Обычно | AX |< 2 . Для симметричных распределений AX = 0 , если левая ветвь кривой рас- пределения длиннее правой, то AX < 0 , если же левая ветвь кривой распределения короче пра-

вой, то AX > 0 .

Эксцесс EX случайной величины X характеризует островершинность кривой распределения

этой случайной величины по сравнению с кривой нормального распределения и вычисляется по формуле

E	X	=	µ4(X)	− 3 .	(3.50)
			σ4

			X

Обычно −1 EX 6 . Для нормального распределения EN(a;σ) = 0 ; если кривая распределения случайной величины X

имеет менее острую вершину, чем кривая нормального распреде- ления, то EX < 0 ; если кривая распределения случайной величи-

ны X имеет более острую вершину, чем кривая нормального рас- пределения, то EX > 0 .

Левосторонней критической границей (или квантилью) уровня α	Рис. 3.3. Критические границы
случайной величины X называется такое число Kα , что
FX (Kα) = α,	(3.51)
т. е. P{X < Kα} = α.

Правосторонней критической границей уровня α случайной величины X называется такое число

Bα , что
FX (Bα) = 1 −α ,	(3.52)

т. е. P{X Bα} = α .

Левосторонняя и правосторонняя критические границы одного и того же уровня α связаны между

собой соотношением

Kα = B1−α .

(3.53)

Двусторонними критическими границами уровня α случайной величины X называются такие

числа Bα,

α , что

) = α

; F (

α) = 1 −

(3.54)

т. е. P{X < Bα} = P{X

α} =

Между односторонними и двусторонними критическими границами случайной величины X суще-

ствуют следующие соотношения

Bα = Kα/2 = B1−α/ 2;	B	α = K1−α/2 = Bα/2 .					(3.55)
Для стандартного нормального распределения			N(0; 1) двусторонние критические границы
уровня α симметричны и имеют специальные обозначения Bα = −uα,						α = uα , при этом
					B
Φ0(uα) =		1 −α		.			(3.56)
			2

На рис. 3.3 указаны левосторонняя, правосторонняя и двусторонние критические границы для некоторого распределения.

249. Доказать формулы (3.35) – (3.39).

250. Случайная величина X имеет производящую функцию mX (t) = 0,2 +

+0,3et + 0,1e2t + 0, 4e4t . Составить ряд распределения этой случайной величины, найти её математическое ожидание и дисперсию, а также производящую функ- цию случайной величиныY = X 2 .

251. Найти производящую функцию случайной величины, заданной рядом распределения

X −1 0 1 p 0,2 0,3 0,5 .

252.Доказать формулу (3.41).

253.Доказать свойства производящей функции (3.42) – (3.43).

254.Найти производящую функцию случайной величины, распределённой по нормальному закону.

													tX				1 +∞		tx		−	1	(x−σa )2
																	1 +∞					2
																						2
	РЕШЕНИЕ.						mX (t) = Me							=		2πσ ∫ e				e						dx =
																	−∞																							2
			+∞				1		(x	2			2			2	2				2			4 2			4 2			)		+∞		1				2		2					2 2
			+∞				1			2			2			2	2				2			4 2			4 2					+∞		1		x−a−σ			t					σ t
		1				−					−2x(a+σ			t)+a			+2aσ	t−2aσ t+σ							t	−σ		t			1			−								at+
						−		2			−2x(a+σ			t)+a			+2aσ	t−2aσ t+σ							t	−σ		t						−
=				∫ e				2																						dx =			∫ e													dx =
							2σ																												2		σ			e					2
		2πσ					2σ																								2πσ				2		σ			e					2
			−∞												2																	−∞
			2 2				+∞ 1							2	2					2 2																2 2										2 2
			σ t				+∞ 1					x−a−σ t								σ	t										2					σ t	(					)				σ t
						1																		1							2							1			1
		at+				1		∫			−							at+						1					+∞−a−σ			t	at+					1			1				at+
=e			2					∫		e 2		σ			dx =e					2					+ Φ		0						= e			2			+				=e			2 .
=e			2		2πσ−∞					e 2		σ			dx =e					2					+ Φ								= e			2			+				=e			2 .
					2πσ−∞																			2						σ								2			2

255.

Найти четвёртый начальный момент случайной величины X N(0; 1).

σ2t2

′

РЕШЕНИЕ. Производящая функция

mX (t) =eat+

= e

, её

производные (e 2

)

= te

2 ′′

2 (3)

2 (4)

(e 2 ) = e 2

+ t2e

(e 2 ) = 3te 2 + t3e

, (e 2 ) = 3e 2 + 6t2e 2

+ t4e

, поэтому четвёртый

(4)

начальный момент ν4(X) = (e 2

)

t=0 = 3e 2

+ 6t2e 2

+ t

4e 2

t=0

= 3 .

256.Найти производящую функцию и с её помощью вычислить математиче- ское ожидание для случайной величины X G(p).

257.Найти производящую функцию для случайной величины X R(a; b).

258.Найти производящую функцию, второй начальный и третий центральный моменты для случайной величины X Exp(µ).

259.Доказать, что величина M(X −c)2 достигает своего наименьшего значения

при c = MX .

260.Найти моду и медиану случайной величины X R(a; b).

261.Найти моду и медиану случайной величины X Exp(µ).

262.

Пусть X — некоторая случайная величина, Y = aX + b (a и b — неслу-

a > 0,

чайные постоянные, a ≠ 0 ). Доказать, что A

= E

a < 0,

−A

X−MX

263.

Пусть

X — некоторая случайная величина,

X =

. Доказать, что

A = AX , E

= EX .

264.

Найти

коэффициент асимметрии

эксцесс случайной величины

X N(a; σ).

265.	Найти	коэффициент	асимметрии	и	эксцесс		случайной	величины
X Π(λ).
266.	Найти	коэффициент	асимметрии	и	эксцесс		случайной	величины
X R(a; b).
267.	Найти	коэффициент	асимметрии и	эксцесс случайной величины X ,
					µ	−µ\|x\|
имеющей распределение Лапласа с плотностью f (x) = 2 e							, x .
268.	Найти для случайной величины X N(0; 1): а) 2,5%-ную и 97,5%-ную

квантили ; б) 5%-ную правостороннюю критическую точку.

269.Найти 5%-ную и 95%-ную квантили распределений: а) T10 ; б) χ202 .

270.Найти 5%-ную и 95%-ную квантили распределения F2;3 .

§3.5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Многомерная случайная величина X = (X1,X2,…,Xn ) — это совокупность случайных величин Xi (i = 1, 2,…,n) , заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω.

Закон распределения вероятностей многомерной случайной величины задаётся её функцией распределения

FX (x1,x2,…,xn ) = FX1,X2,…,Xn (x1,x2,…,xn ) = P{(X1 < x1) ∩(X2 < x2 ) ∩ ∩(Xn < xn )} ,

которая является числовой функцией многих переменных и (как вероятность) принимает значе- ния на отрезке [0; 1].

Функция распределения многомерной случайной величины обладает следующими свойства- ми.

для всех x1,x2,…,xn : 0 FX1,X2,…,Xn (x1,x2,…,xn ) 1 ;		(3.57)
FX1,X2,…,Xn (x1,x2,…,xn ) не убывает по каждому аргументу;		(3.58)
FX1,X2,…,Xn (x1,x2,…,xn ) непрерывна слева по каждому аргументу;		(3.59)
FX1,X2,…,Xn (x1,x2,…,xn−1,−∞) = 0 ;		(3.60)
FX1,X2,…,Xn (x1,x2,…,xn−1,+∞) = FX1,X2,…,Xn−1	(x1,x2,…,xn−1) .	(3.61)

В отличие от одномерного случая, выполнение свойств (3.57) – (3.61) для некоторой функции F : n → не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторой мно- гомерной случайной величины.

Многомерные случайные величины, так же, как и одномерные, могут быть дискретными (когда наборы возможных значений образуют конечное или счётное множество) или непрерывными (ко- гда множество наборов возможных значений несчётно).

Всюду ниже в данном параграфе будут рассматриваться двумерные случайные величины. Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуоткрытый прямоугольник

равна

P{(a1 X1< b1) ∩(a2 X1< b2 )}=	(3.62)
= FX1,X2 (b1,b2 )−FX1,X2 (a1,b2 )−FX1,X2 (b1,a2 ) + FX1,X2 (a1,a2 ) .
Если дополнительно к условиям (3.57) – (3.61) потребовать от функции F : 2 →	неотрица-
тельности величины
FX1,X2 (b1,b2 )−FX1,X2 (a1,b2 )−FX1,X2 (b1,a2 ) + FX1,X2 (a1,a2 )

для любых a1,a2, b1,b2 таких, что b1 a1, b2 a2 , то тогда эта функция обязательно будет

являться функцией распределения некоторой двумерной случайной величины.

Двумерные дискретные случайные величины удобно задавать с помощью таблиц распределения

X	x1	x2	xn
Y	x1	x2	xn
y1	p11	p12	p1n	.	(3.63)
y2	p21	p22	p2n	.	(3.63)
ym	pm1	pm2	pmn

В такой таблице заголовки столбцов xj соответствуют всем возможным значениям первой компоненты X , а названия строк yi — всем возможным значениям второй компоненты Y . При этом в клетку, находящуюся в i -й строке и в j -м столбце, записывается значение вероятности

pij = P{(X = xj ) ∩(Y = yi )}. Естественно,
∑∑pij = 1 .	(3.64)
i j
Функция распределения двумерной дискретной случайной величины равна
FXY (x,y) = ∑ ∑ pij .	(3.65)
xj <x yi <y

Законы распределения каждой из компонент такой двумерной случайной величины (так на- зываемые маргинальные законы распределения) восстанавливаются по таблице распределения (3.63) при помощи формул

P{X = xj } = ∑pij, P{Y = yi } = ∑pij .		(3.66)
i	j

Двумерная случайная величина называется абсолютно непрерывной, если её функция распреде- ления может быть представлена в виде

	x	y

F (x,y) =	∫	∫	f		(3.67)
F (x,y) =			f	(x,y)dy dx ,	(3.67)
XY			XY

	−∞ −∞

при этом функция fXY (x,y) называется плотностью распределения двумерной случайной величины

(X;Y ).

Плотность распределения абсолютно непрерывной двумерной случайной величины обладает

следующими свойствами:
для всех x,y		: fXY (x,y)	0 ;	(3.68)
+∞ +∞

	f		,	(3.69)
	f	(x,y)dy dx = 1	,	(3.69)
∫ ∫	XY


−∞ −∞

причём любая функция, обладающая этими свойствами (3.68) – (3.69), является плотностью рас- пределения некоторой абсолютно непрерывной двумерной случайной величины.

Если функция распределения абсолютно непрерывной двумерной случайной величины (X;Y )

имеет смешанную частную производную	∂2		F	(x,y), то плотность распределения	f (x,y)

	∂x∂y XY				XY
равна этой частной производной:			∂2
f (x,y) =				F (x,y).	(3.70)
		∂x∂y
XY				XY

Если абсолютно непрерывная двумерная случайная величина (X;Y ) имеет плотность

fXY (x,y), то одномерные случайные величины X и Y	также являются абсолютно непрерывны-
ми, и их плотности можно рассчитать по формулам	y
x	y
fX (x) = ∫ fXY (x,y)dy, fY (y) = ∫ fXY (x,y)dx .		(3.71)
−∞	−∞

Свойство (3.71) справедливо только для двумерных абсолютно непрерывных случайных вели- чин. В случае n > 2 это свойство выглядит существенно иначе.

Напомним1, что две случайные величины X и Y называются независимыми, если для всех x,y

P{(X < x) ∩(Y < y)} = P{X < x}P{Y < y} ,

(3.72)

т. е. если для всех x,y события {X < x} и {Y < y} независимы.

Для дискретных случайных величин X и Y условие независимости (3.8) эквивалентно усло-

вию
P{(X = x) ∩(Y = y)} = P{X = x}P{Y = y} ,	(3.73)
а для абсолютно непрерывных случайных величин — условию
fXY (x,y) = fX (x)fY (y).	(3.74)
Для измерения зависимости случайных величин вводится ковариация случайных величин X и Y
cov(X,Y ) = M[(X −MX)(Y −MY )].	(3.75)
Последняя формула легко преобразуется к виду
cov(X,Y ) = M(XY )−MX MY .	(3.76)
Ковариация случайных величин обладает следующими свойствами:
cov(X,Y ) = cov(Y,X), cov(X,X) = DX ,	(3.77)
cov(αX,Y ) = αcov(X,Y ), cov(X +Y,Z) = cov(X,Z)+ cov(Y,Z),	(3.78)
для независимых случайных величин X и Y cov(X,Y ) = 0 .	(3.79)

Для случайных величин X и Y , имеющих тенденцию изменяться одновременно в одну и ту же сторону, cov(X,Y ) > 0 , для случайных величин X и Y , имеющих тенденцию изменяться од- новременно в разные стороны, cov(X,Y ) < 0 .

Дисперсия суммы произвольных (зависимых или независимых) случайных величин рассчиты-

вается по формуле
D(X +Y ) = DX + DY + 2 cov(X,Y ) .	(3.80)

Ковариация может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне при- годна к использованию в качестве меры связи случайных величин. Для этого лучше подходит ко-


эффициент корреляции случайных величин X и Y
ρ(X,Y ) =	cov(X,Y )	=	M[(X −MX)(Y −MY )]	=	M(XY )−MX MY			.	(3.81)
	σ σ
			σ σ			σ	σ
	X Y		X Y			X Y
Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:
для любых случайных величин X и Y : −1 ρ(X,Y )							1 ;		(3.82)
для независимых случайных величин X и Y : ρ(X,Y ) = 0 ;									(3.83)
для линейно связанных случайных величин X и Y = aX + b (a,b						, a ≠ 0 ) и только для них:
			\|ρ(X,Y )\|= 1 .						(3.84)

Если коэффициент корреляции ρ(X,Y ) = 0 , то это не обязательно означает независимость случайных величин X,Y . В этом случае говорят, что данные случайные величины некоррелирован- ны. Из независимости следует некоррелированность, но наоборот — не всегда.

1 См. формулу (3.8) в §3.1.

Случайная величина, которая задаётся плотностью распределения

					1					−a			2		x		−a			x		−a			x		−a			2
					1			x	1	−a		1			x	1	−a		1	x	2	−a		2	x	2	−a		2
									1			1				1			1		2			2		2			2
				−										−2ρ											+
				−										−2ρ											+
	1					2
	1					2			σ							σ					σ					σ
					2(1−ρ				σ							σ					σ					σ
f(x1,x2 ) =			e		2(1−ρ		)				1							1					2					2			,	(3.85)
f(x1,x2 ) =	2π 1 −ρ2 σ σ	2	e																												,	(3.85)
	1	2

называется распределённой по двумерному нормальному закону.

При этом её компоненты X1 и X2 распределены по одномерным нормальным законам с ма- тематическими ожиданиями a1 и a2 соответственно и средними квадратичными отклонениями σ1 и σ2 соответственно, а параметр ρ равен коэффициенту корреляции между случайными ве- личинами X1 и X2 .

271.Доказать свойства функции распределения многомерной случайной вели-

чины (3.57) – (3.61).

272.Доказать формулу (3.62).

273.Доказать, что функция

sinx siny,	x	0, x		0 илиx		+x			1,
	1		2		1			1
	1		2		1			1
F(x,y) =	иначе, т. е. когдаодновременноx						>0, x				>0 иx		+x		>1
0,	иначе, т. е. когдаодновременноx					1	>0, x			2	>0 иx	1	+x	1	>1
						1				2		1		1

удовлетворяет всем свойствам (3.57) – (3.61), но при этом не является функцией распределения случайной величины.

РЕШЕНИЕ. Предположим, что F(x1,x2 ) описывает некоторую случайную величину (X1,X2 ).

Вероятность P{(0,1 X1< 1,1) ∩(0,1 X1< 1,1)}= F(1,1; 1,1)−F(0,1; 1,1)−F(1,1; 0,1) + F(0,1; 0,1)= = 1 −1 −1 + 0 = −1 , что противоречит аксиоме неотрицательности вероятности (1.36). Между тем справедливость свойств (3.57) – (3.61) легко проверить (предоставляем это читателю.

274. Двумерная случайная величина (X;Y ) задана функцией распределения

														0	x<	π	, 0 y<	π	,
									sinx siny,					0	x<		, 0 y<		,
																2		2
						F(x,y) =						0,				2		2
												0,			иначе.
	{		4					6		3	}
	{		4		)		(	6		3	}
Найти P	(	0	X <	π	)	∩	(	π	Y <	π	)		.
Найти P		0	X <			∩			Y <				.

275.Доказать формулу (3.66).

276.Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X;Y ):

Y	−1	0	1
Y
0	0	0,1	0, 4 .
1	0,2	0,2	0,1

Составить ряды распределения её компонент X и Y . Определить вероятность

P{X <Y }.

РЕШЕНИЕ. Вначале составим ряды распределения случайных величин X и Y . Случайная вели- чина X принимает значения –1; 0 и 1 с вероятностями 0,2 = 0 + 0,2; 0,3 = 0,1 + 0,2 и 0,5 = 0,4 + 0,1 соответственно. Таким образом, эта случайная величина имеет ряд распределения

X	−1	0	1	.
p	0,2	0,3
			0,5

Аналогично получаем ряд распределения случайной величины Y :

Y		0	1	.
		0,5
	p		0,5

Вероятность P{X<Y }= P{(X =− 1)∩(Y =0)}+ P{(X=− 1)∩(Y =1)}+ P{(X=0)∩(Y = 1)}= 0+0, 2+0, 2 = 0, 4 .

277. Двумерная случайная величина (X;Y ) задана функцией распределения

1−2−x −2−y −2−x−y		x 0,y 0,

F(x,y) =	0,	иначе.
	0,	иначе.

Найти плотность распределения этой случайной величины.

278. Двумерная случайная величина (X;Y ) задана плотностью распределения

	sin(x +y)				π		π
	sin(x +y)	,	0	x<	π	, 0 y<	π	,
		,	0	x<		, 0 y<		,
	2				2		2
f (x,y) =	2				2		2
	0,			иначе.
	0,			иначе.

Найти функцию распределения этой случайной величины.

279.Доказать, что плотность распределения любой абсолютно непрерывной двумерной случайной величины обладает свойствами (3.68) – (3.69).

280.Доказать, что любая функция, обладающая свойствами (3.68) – (3.69), явля- ется плотностью распределения некоторой абсолютно непрерывной двумерной случайной величины.

281.Доказать формулу (3.70).

282.Доказать, что для любых абсолютно непрерывных двумерных случайных величин справедливо свойство (3.71).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

По

свойству

(3.61)

(x)= F

(x,+∞)= lim F (x,y)=

y→+∞ XY

+∞

lim

∫

lim

∫

, что и требовалось доказать. Вто-

(u,v)dv du =

f (u,v)dv du

y→+∞

−∞ −∞

fX (x)

рая часть доказывается аналогично.

283.Доказать условие независимости дискретных случайных величин (3.73).

284.Доказать условие независимости абсолютно непрерывных случайных ве-

личин (3.74).

285.Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X;Y ):

X	−1	0	1
Y	−1	0	1
Y
1	0,15 0,3 0,3 .
2	0,1	0,05	0,1

Здесь случайная величина X описывает доход инвестиционной компании на рынке акций, а случайная величина Y — доход на рынке облигаций. Составить ряды распределения её компонент X и Y , а также условный закон распределения компоненты X при условии Y = 2 . Выяснить, зависимы ли компоненты X и Y . Найти закон распределения суммарного дохода компании X +Y .

286. Двумерная случайная величина (X;Y ) задана плотностью распределения

f (x,y) = c e−x 2 −2xy−4y2 . Найти неслучайную постоянную c , плотности распреде-

ления случайных величин X и Y , выяснить, зависимы ли маргинальные случай- ные величины X иY .

287. Доказать формулу (3.76).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По свойствам математического ожидания cov(X,Y )=M[(X−MX)(Y −MY )] = = M(XY −Y MX−X MY +MX MY )=M(XY )−MY MX −MX MY +MX MY = M(XY )−MX MY .

288. Доказать свойства ковариации (3.77) – (3.80).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. cov(X,Y ) = M(XY )−MX MY = M(YX)−MY MX = cov(Y,X); cov(X,X) =

= M(X 2 )−(MX)2 = DX ; для независимых случайных величин X и Y cov(X,Y ) = M(XY )−

−MX MY = MX MY −MX MY = 0 .

289. В условиях задачи 276 найти ковариацию случайных величин X иY .

РЕШЕНИЕ. Чтобы найти M(XY ), перемножим все возможные значения xj , yi и соответствую- щих вероятностей pij из таблицы распределения данной случайной величины и произведения

	m	n	m	n
сложим:	M(XY ) = ∑	∑ xjyiP{(X = xj ) ∩(Y = yi )} = ∑		∑ xjyipij = 0 (−1) 0 + 0 0 0,1 +
	i=1 j=1		i=1 j=1
+0 1 0, 4 + 1 (−1) 0, 2 + 1 0 0,2 + 1 1 0,1 = 0 + 0 + 0 −0,2 + 0 + 0,1 = −0,1 . MX и MY найдём
по рядам	распределения случайных величин X		и	Y , полученным в задаче 276:

MX =−1 0,2+0 0,3+1 0,5 = 0,3 , MY = 0 0,5 + 1 0,5 = 0,5 . Поэтому cov(X,Y )= M(XY )−MX MY =

=−0,1 −0,3 0, 5 = −0,25 .

290.Найти ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y , если двумерная случайная величина (X;Y ) задана плотностью распределения

1
		sinx siny,	0 x<π, 0 y<π,
	4
f (x,y) =		0,	иначе.

291. Доказать свойства коэффициента корреляции (3.82) – (3.84).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем последнее из названных свойств (справедливость первых двух чи- татель легко проверит самостоятельно). По свойствам математического ожидания и дисперсии

ρ(X,Y ) =

M[X(aX +b)]−MX M(aX +b)

a(MX 2 )+bMX−a(MX)2 −b MX

σX σaX +b

DX M[(aX +b)2 ]−(aMX +b)2

−1, a<0,

aDX +b(MX −MX )

a DX

a>0,

|a||DX|

M(X

)+2abMX +b

−2abMX−b

DX a

−a

(MX)

поэтому |ρ(X,Y )|= 1 .

292. В условиях задачи 276 найти коэффициент корреляции случайных вели- чин X иY .

РЕШЕНИЕ. Найдём M(X	2 ) = (−1)2 0, 2 + 02 0, 3 + 12 0, 5 = 0,7 и M(Y 2 ) = 02 0,	5 + 12 0, 5 = 0, 5 .	От-
сюда DX=M(X 2 )−(MX)2=	0, 7−(0, 3)2= 0, 61 , DY = M(Y 2 ) −(MY )2 = 0, 5 −(0, 5)2 = 0, 25 ( MX = 0, 3		и
MY = 0, 5 были получены в задаче 289). Поэтому σX =		DX = 0,61 ≈ 0, 78 ,

σ = DY = 0,25 ≈ 0, 5 . Окончательно получаем ρ(X,Y ) =	cov(X,Y )		=	−0,25	≈ −0, 64 .

Y	σX	σY		0,78 0,5

293. Пусть X,Y, Z — независимые случайные величины с конечными положи-

тельными дисперсиями. Проверить, могут ли случайные величины X + Z и Y + Z быть: а) зависимыми; б) независимыми.

294. Доказать, что если X =	X−MX	, Y =	Y −MY	(где X и Y — некоторые слу-
294. Доказать, что если X =	σ	, Y =	σ	(где X и Y — некоторые слу-
	σ		σ
	X		Y

чайные величины), то ρ(X,Y ) = ρ(X,Y ).

295. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной ве- личины (X;Y ):

Y	26	30	41	50
Y
2,3 0,05		0,12	0,08	0,04 .
2,7 0,09		0,30	0,11	0,21

Найти ковариацию и коэффициент корреляции её компонент X иY .

296. Петя вычислил ковариацию роста X спортсменов из институтской баскет- больной команды, измеренного в см, и скорости бега Y (тех же спортсменов), из-

меренной в мс . Маша для той же совокупности баскетболистов вычислила кова-

риацию роста X , измеренного в м, и скорости бега Y , измеренной в мс . Опреде- лить, в каком отношении находятся эти ковариации.

297.В условиях предыдущей задачи сравнить коэффициенты корреляции, по- лученные Петей и Машей.

298.Средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y равны со- ответственно 5 и 4. Определить наибольшее возможное значение cov(X,Y ).

299.Случайные величины X и Y — число появлений событий простейшего потока в интервалах времени (0;t) и (0;t + τ) соответственно. Найти ρ(X,Y ).

РЕШЕНИЕ. Пусть случайная величина Z — число появлений событий простейшего потока в интервале (t;t + τ). Тогда X Π(λt), Y Π(λ(t+τ)) , Z Π(λτ) , MX = DX = λt , MY = DY = λ(t + τ) ,

MZ = DZ = λτ . Поэтому по формуле (3.17) M(X 2 ) = DX + (MX)2 = λt + (λt)2 . Учитывая, что в силу свойства отсутствия последействия простейшего потока случайные величины X,Y и Z незави-

симы, поэтому по формуле (3.15)

M(XZ) = MX MZ = λ2tτ . Используя (3.81), (3.76) и (3.14), получа-

ем, что ρ(X,Y ) =

M(XY )−MX MY

M[X(X +Z)]−MX MY

MX 2 +M(XZ)−MX MY

DX DY

t+τ

300.Ожидаемая доходность первого актива равна 8% со средним квадратичным отклонением 7%, ожидаемая доходность второго актива равна 11% со средним квадратичным отклонением 10%. Коэффициент корреляции между этими акти- вами составляет 0,7. Найти ожидаемую доходность и среднее квадратичное откло- нение портфеля1, состоящего на 35% из первого актива и на 65% — из второго.

301.Доказать, что компоненты X1 и X2 двумерной нормальной случайной ве-

личины (3.85) распределены по одномерным нормальным законам с математиче- скими ожиданиями a1 и a2 соответственно и средними квадратичными отклоне-

ниями σ1 и σ2 соответственно, а параметр ρ равен коэффициенту корреляции между случайными величинами X1 и X2 .

1 Портфелем называется набор ценных бумаг, которым обладает инвестор.

302. Случайная величина (X1; X2)задана плотностью распределения f (x1,x2) = 1,281 πe−5,112 (x1−3)2 −0,6(x1−3)(x2 −5)+4(x2 −5)2 .

Найти коэффициент корреляции между случайными величинами X1 и X2 .

303.Привести пример зависимых, но некоррелированных случайных величин.

304.Доказать, что для нормально распределённых случайных величин условие независимости эквивалентно условию некоррелированности.

§3.6. УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть с помощью таблицы распределения (3.63) задана двумерная дискретная случайная ве-

личина (X;Y ) . Условная вероятность события {Y = yi } при условии {X = xj } вычисляется, соглас-

но определению условной вероятности (2.1), в соответствии с формулой

P{Y = yi	\| X = xj	} =	P{(X = xj ) ∩(Y = yi )}		=	pij	.	(3.86)
			P{X = xj	}		∑pkj

Таким образом, можно получить условное распределение дискретной случайной величины Y при ус-

ловии {X = xj }, оно будет задаваться рядом распределения

Y \| X = xj		y1		y2	ym		.
Y \| X = xj		y1		y2	ym
			p1j	p2j	pmj
	p		p1j	p2j	pmj	(3.87)
	p		∑ pkj	∑ pkj	∑ pkj	(3.87)
			∑ pkj	∑ pkj	∑ pkj
			k	k	k

Математическое ожидание случайной величины (3.87) называется условным математическим

ожиданием дискретной случайной величины Y при условии {X = xj }:							∑yipij
		y	P{(X = x	) ∩	(Y = y )}		∑yipij
M(Y \| X = xj ) = ∑yiP{Y = yi	\| X = xj } = ∑	i	j		i	=	i	. (3.88)
M(Y \| X = xj ) = ∑yiP{Y = yi	\| X = xj } = ∑		P{X	= xj }		=	∑pij	. (3.88)
i	i		P{X	= xj }			∑pij
							i

Для дискретных случайных величин X и Y условные вероятности P{Y = yi | X} и условные ма- тематические ожидания M(Y | X) при условии X определяются как случайные величины, прини- мающие на множестве {x1, x2, x3, …, xn, …} значения (3.86) и (3.88) соответственно:

P{Y = yi | X}

pi1

pi2

(3.89)

∑k

pk1 ∑k

pk2

∑k

pkm

M(Y | X)

∑yipi1

∑yipi2

∑yipin

(3.90)

∑i

pi1

∑i

pi2

∑i

Аналогичным образом определяются условные плотности распределения и условные матема- тические ожидания для абсолютно непрерывных случайных величин. Условная плотность распре-

деления абсолютно непрерывной случайной величины Y при условии {X = x} определяется формулой

f	(y) =	fXY	(x,y)	=		fXY (x,y)	,	(3.91)
					+∞
Y \|X =x		fX	(x)
					∫	fXY (x,y)dy

−∞

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>