Теория вероятностей в примерах и задачах / Kolemaev

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Другие законы распределения

Вычислить:

а) P{χ2 >10,9};

< 28, 4}; в) P{8,26 χ2

> 10,9}; д) P{χ2 < 28, 4}; е) P{8,26 χ2

.pdf

Скачиваний:

229

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

разбить не менее семи ящиков, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение количества ящиков, разбитых при транспортировке, чтобы оценить возможность потерь, заявленных экспедитором. Найти указанные величины.

196. В банк поступило 4 000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное количество денежных знаков, рав- на 0,0001. Найти: а) вероятность того, что при проверке будет обнаружен хотя бы один ошибочно укомплектованный пакет; б) вероятность того, что при проверке будет обнаружено не более трёх ошибочно укомплектованных пакетов; в) математическое ожидание и дисперсию числа ошибочно укомплектованных па- кетов.

197.Для продвижения своей продукции на рынок фирма раскладывает по поч- товым ящикам рекламные листки. Прежний опыт работы фирмы показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 10 000 рекламных листков поступит хотя бы один заказ, среднее чис- ло поступивших заказов и дисперсию числа поступивших заказов.

198.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии распреде- ления Пуассона (см. табл. 3.1).

199.Доказать, что число событий простейшего потока с интенсивностью µ , на-

ступивших за время t , представляет собой случайную величину X , распределён- ную по закону Пуассона с параметром λ = µt .

200. В диспетчерскую таксопарка поступает простейший поток заказов такси с интенсивностью µ = 1,2 заказамин . Найти вероятности следующих событий: а) за две

минуты не поступит ни одного заказа; б) за две минуты поступит ровно один за- каз; в) за две минуты поступит хотя бы один заказ.

201.Магазин имеет два входа, потоки покупателей на этих входах независимы

иявляются простейшими. Через первый вход проходит в среднем µ1 = 1,5 минчел. , а

через второй вход — µ2 = 0,5 минчел. . Определить вероятность того, что в наугад вы-

бранную минуту хотя бы один человек посетит магазин.

202. Найти функцию распределения интервала времени T между двумя после- довательными наступлениями события в простейшем потоке с интенсивностью µ .

§3.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если её функция распределения мо- жет быть представлена в виде

x
FX (x) = ∫ fX (z)dz .	(3.24)
−∞
При этом функция fX (x) называется плотностью распределения вероятностей (или,	короче,

плотностью распределения) случайной величины X . График плотности распределения случайной величины X называется кривой распределения вероятностей (или, короче, кривой распределения) слу-

чайной величины X . Всюду ниже в данном параграфе будут рассматриваться абсолютно непре- рывные случайные величины, при этом слово «абсолютно» будет опускаться.

Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначаю- щий эту случайную величину, опускается: f(x) ≡ fX (x).

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

для всех x : f(x) 0 ;	(3.25)
+∞
∫ f (z)dz = 1 ;	(3.26)
−∞
для всех точекx , в которых существует производная F ′(x): f(x) = F ′(x).	(3.27)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет конкретное числовое зна- чение, равна нулю:

для всех x : P{X = x} = 0 .

(3.28)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать по формуле

для всех c,d , таких, что c < d :	(3.29)
d
P{c X d} = P{c < X d} = P{c X < d} = P{c < X < d} = F(d)−F(c) = ∫ f(x)dx .
c
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число
+∞
MX = ∫ xf(x)dx .	(3.30)

−∞

Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.12) – (3.15), что и математическое ожидание дискретной случайной величины.

Формулы (3.16) и (3.17) для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин принимают вид

+∞
DX = ∫ (x −MX)2 f(x)dx ,	(3.31)
−∞
+∞
DX = ∫ x 2 f(x)dx −(MX)2 .	(3.32)

−∞

соответственно.

Дисперсия непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.20) – (3.22), что и дисперсия дискретной случайной величины.

Наиболее часто встречающиеся законы распределения непрерывных случайных величин при- ведены в табл. 3.2.

Способы задания и числовые характеристики непрерывных случайных величин

203. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРЕТО. Годовой доход случайно выбранного налогопла- тельщика описывается случайной величиной X с плотностью распределения

	0,		x<1,

	c
f (x) =
		,	x 1.
	3,5

x

Найти значение параметра c , функцию распределения годового дохода, сред- ний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Опреде- лить размер годового дохода xmin , не ниже которого с вероятностью 0,5 окажется

годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Таблица 3 . 2

Название

Краткое

Обозначение случайной вели-

Функция и плотность рас-

Выражение матема-

закона

обозначе-

чины, механизм её формиро-

пределения

тического ожида-

распреде-

ние закона

вания и обозначения парамет-

ния и дисперсии

ления

ров закона

через параметры

закона

равно-

X R(a;b)

—

случайная

величина,

a+b

x [a;b],

MX =

мерный

принимающая значения только

−a

f(x) = b

x [a;b],

из

некоторого

отрезка

[a;b],

DX =

(b−a)

x<a,

причём с содержательной точки

зрения

все

значения внутри

x −a

x [a;b],

F(x) =

этого

отрезка

одинаково

воз-

b−a

x>b

можны

показа-

X Exp(µ)

X — интервал времени между

x<0,

MX =

тельный

двумя

последовательными

на-

−µx

f (x) =

(экспонен-

ступлениями

события в

про-

µe

DX =

x<0,

циальный)

стейшем потоке с интенсивно-

F(x)

стью µ

x 0

1−e−µx ,

нормаль-

X N(a;σ)

N(a,σ) = X1 + X2 +

+ XN ,

−

(x −a)2

MX = a,

ный

где X1,X2,…,XN

— большое

f(x) = σ

2π e

2σ

DX = σ2

число независимых в совокуп-

ϕ(x

−σa ), F(x) =

ности случайных величин, воз-

(t−a)2

действие каждой из которых на

∫ e−

2σ2

dt =

равномерно

незначительно

σ 2π −∞

и равновероятно по знаку (со-

+ Φ0 (

x−a

), значения

гласно

центральной

предель-

ной теореме, см. §4.4)

функций ϕ(x) и Φ0(x) при-

ведены в табл. П.1

логнор-

X LN(a;σ)

LN(a;σ) = ln N(a;σ)

ϕ(

lnx−lna

мальный

f (x) =

MX = aeσ

/2,

σx

lnx−lna

DX=ae

σ2/2

−1

F(x)=

+Φ0(

)

(

)

«Хи квад-

X χ2

χ2

= N2(0;1)+ N2(0;1)+

при n

30 значения χ2

Mχn2 = n,

рат» с n

n;p

соответствующие вероятно-

Dχn2 = 2n

степенями

+Nn2(0;1), где

N1(0,1), N2(0,1),…,

свободы

Nn (0;1)

— независимые в сово-

сти p = P{χn2 > χn2;p } , при-

купности случайные величины

ведены в табл. П.2, при

N2( 2n−1;1)

n > 30

χn≈

Стью-

X Tn

N(0;1)

при n

30 значения tn;p ,

MTn = 0,

дента с n

, где

N(0;1) и

χn —

соответствующие вероятно-

степенями

χn/n

DTn =

независимые

случайные

вели-

сти p = P{|Tn |> tn;p} , при-

n−2

свободы

чины

ведены в табл. П.3, при

n > 30

Tn ≈ N(0;1)

Фишера с

X Fn1;n2

χn2

/n1

значения fn1;n2;p , соответ-

n1 и n2

Fn1;n2 =

где

n n

χn1

χn2

ствующие вероятности

n2−2

χ2

степенями

p = P{F

> f

} ,

DFn1n2 =

свободы

— независимые случайные ве-

n1;n2

n1;n2;p

2n2(n

−2)

личины

приведены в табл. П.4

−2)2(n

−4)

n2 > 4

∞	1	∞
РЕШЕНИЕ. Параметр c найдём из условия (3.26): 1 = ∫	f(x)dx = ∫	0dx +∫	c	dx =
			x 3,5
−∞	−∞	1

											0,
				∞							0,
	c		1	∞		c
	c		1			c		, откуда c = 2,5 . Таким образом,
=−					=				f(x) =	2,5
=−			2,5		=				f(x) =	2,5
	2,5	x				2,	5

											3,5
				1					x

Функцию распределения найдем по формуле (3.24): F(x) =

x<1,

,x 1.

∫ f (z)dz = ∫ 0dz = 0 при x < 1 ,

			x					1					x								x														−∞				−∞
			x					1					x								x		2,5							1		x					1
F(x) = ∫					f(z)dz = ∫ f(z)dz + ∫ f(z)dz = ∫																		2,5		dt = −					1		x	= 1 −				1	при x		1 .
F(x) = ∫					f(z)dz = ∫ f(z)dz + ∫ f(z)dz = ∫																		3,5		dt = −					2,5		1	= 1 −			x	2,5	при x		1 .
		−∞						−∞					1								1	z							t			1				x
		−∞						−∞					1								1
											0,				x<1,
											0,				x<1,

Таким образом,													1
								F(x) = 1−					1	,	x		1.
								F(x) = 1−					2,5	,	x		1.
												x	2,5
				∞				∞				x																				∞								∞
									2,5							2,5					1		∞			5								2					2		2 2,5				5 2
									2,5							2,5					1		∞			5								2					2		2 2,5				5 2
MX = ∫ xf(x)dx =∫ x											dx = −												1 =					; DX = ∫					x		f(x)dx			−(MX)		=∫ x			dx	−	3 =
MX = ∫ xf(x)dx =∫ x										x 3,5	dx = −					1,5			x		1,5					3		; DX = ∫					x		f(x)dx			−(MX)		=∫ x		x 3,5		−
			−∞					1		x 3,5						1,5			x							3					−∞									1		x 3,5
			−∞					1																							−∞									1
		2,5			1	∞		5 2			5 2				20								2 5
		2,5			1	∞		5 2			5 2				20								2 5
= −							−	=	5 −			=					;	σ			=					≈ 1, 49 .
= −					0,5		−	=	5 −			=					;	σ			=					≈ 1, 49 .
					0,5													X
		0,5		x		1		3			3				9								3
		0,5		x		1		3			3				9								3
По условию P{X									xmin } = 1 −P{X < xmin} = 1 −F(xmin) = 0, 5 ,																													откуда		F(xmin) = 0,5 ,					т. е.
1 −	1		= 0,5 или x 2,5						= 2 , поэтому lnx											min			=	ln 2				≈	0,693			≈ 0, 28 , значит, x								≈e0,28≈ 1, 32 .
1 −	xmin2,5		= 0,5 или x 2,5						= 2 , поэтому lnx														=					≈				≈ 0, 28 , значит, x								≈e0,28≈ 1, 32 .
	xmin2,5							min															2,5				2,5												min

204. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика описывается слу- чайной величиной X с плотностью распределения

	0,			x < 1,



f (x) = c				x 1.
			,
		4	,
		4
x

Найти значение параметра c , средний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Определить размер годового дохода xmin , не ниже

которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного нало- гоплательщика.

205. Плотность распределения случайной величины X

f		x [0;2],
f	(x) = ax,	x [0;2],
X	0,	x [0;2].

Найти значение параметра a , функцию распределения FX (x), MX и DX , по- строить графики функций fX (x) и FX (x). Вычислить P{| X −MX |< 0,5} двумя способами: используя fX (x) и FX (x), отметить эту вероятность на обоих графиках.

206. Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины с функцией распределения

			0,	x<−2,
			0,	x<−2,

F	x		+0,5,	−2 x<2,
F	(x) =	4	+0,5,	−2 x<2,
X		4	1	x 2.
			1	x 2.

207. Пусть X — непрерывная случайная величина, X =			X−MX	. Доказать, что
207. Пусть X — непрерывная случайная величина, X =			σ	. Доказать, что
			σ
			X
M X = 0 , DX = 1 .	Равномерное распределение
	Равномерное распределение
208. Случайная	величина	X R[0;100]. Найти вероятности P{X > 10},
P{40 < X < 90},	P{X = 50} и	P{X > 50 \| X < 80}, а также математическое ожи-

дание и дисперсию этой случайной величины.

РЕШЕНИЕ.

P{X > 10}= 1−P{X < 10}= 1−F(10)= 1−

10−0

= 0,9;P{40 <X < 90}= F(90)−F(40)=

100−0

(100−0)2

90−0

−

40−0

=0,5, P{X=50}=0, P{X>50 |X< 80}=

; MX=

0+100

=50 ; DX=

2500

100−0

209.Найти вероятность того, что сумма значений случайной величины X , оп- ределённой в задаче 208, в двух независимо проведённых опытах превысит 80. За- дачу решить графически.

210.Все значения равномерно распределённой случайной величины располо- жены на отрезке [2; 8]. Найти математическое ожидание и дисперсию этой слу- чайной величины, а также вероятности её попадания на отрезок [6; 9] и в интервал

(3; 5).

211.При выяснении причин недостачи драгоценных металлов в ювелирном магазине установлено, что их взвешивание производится на весах, цена деления которых равна 0,1 г, а показания весов округляются при взвешивании до ближай- шего деления их шкалы, причём округления на любые значения от – 0,05 до 0,05 равновероятны. Оценить возможность возникновения ошибки более, чем на 0,03 г, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное откло- нение потерь.

212.Решить задачи 47 – 56, пользуясь равномерным распределением вероятно-

стей.

213.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии равномер- ного распределения (см. табл. 3.2).

+∞

x 2

b2 −a2

(b−a)(b+a)

a+b

РЕШЕНИЕ.

MX = ∫

xf (x)dx = ∫ x

dx =

;

b−a

2(b−a)

2 (b−a)

+∞

−∞

(b −a)(b2 + ab

a+b

x 3

b3 −a3

a+b 2

∫ x

f(x)dx −(MX)2 =∫ x 2

dx −

(

2 )

a =

−

3(b −a)

b−a

3(b−a)

−∞

(b−a)2

−

a2 −2ab+b2

4b2 +4ab+4a2

−

3a2 −6ab+3b2

a2 −2ab+b2

214. ПРАВИЛО ТРЁХ

СИГМ.

Случайная

величина

X R(a; b).

P{|X −MX|< 3σX }.

DX =

+ a2 )−

Найти

215.Случайные величины X R(a; b) и Y R(c; d) независимы. Найти M(XY )

иD(XY ).

Показательное распределение

216. Обычно папа ругает Петю за принесённую «двойку» около 6 мин. На этот раз нотация длится больше 6 мин. Найти математическое ожидание и дисперсию

длительности нотации. Определить, с какой вероятностью папа закончит «читать нотацию» в течение ближайшей минуты?

РЕШЕНИЕ. Длительность нотации X можно считать распределённой по показательному зако- ну. По условию обычная средняя длительность нотации (или её математическое ожидание) со-

ставляет MX = 6 мин. Но для показательного распределения MX =									1	, откуда µ =	1	=	1	. Дис-
									µ		MX	6
персия длительности нотации при этом равна DX =	1				1		2	= 36	. Вероятность того, что папа
			=
		2	=	1	/	6
	µ	2		1	/	6
	µ

закончит «читать нотацию» в течение ближайшей (седьмой) минуты при условии, что нотация

длится больше

6 мин,

равна

P{X<7 |X>6}=

P{(X <7)∩(X>6)}

P{6<X<7}

F(7)−F(6)

P{X>6}

1−F(6)

1−e−7/6 −(1−e−6/6 )

e−1−e−7/6

= 1 −e−1/6 ≈ 0,154.

1−(1−e−6/6 )

e−1

217. Случайная величина X Exp(µ = 2). Определить вероятности P{X > 1}, P{X < 2}, P{X > −1}, P{X = 3} и P{X > 1 | X < 3}, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

218.Обычно брокер получает от своего клиента приказы об операциях на фон- довой бирже раз в неделю. Найти вероятность того, что сегодня поступит приказ, если последний приказ поступил два дня назад. Поток приказов считать простей- шим.

219.Обычно совещание длится час. На этот раз за час оно не закончилось. Ка- кова вероятность того, что оно закончится в ближайшие 15 мин. Длительность со- вещания распределена по показательному закону.

220.Длительность междугородних телефонных разговоров распределена при- мерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин. Опре- делить долю разговоров, которые длятся менее 1 мин. Найти вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течение ближайшей минуты, а также математическое ожидание и дисперсию длительности разговора.

221.Время, необходимое для оформления договора, является случайной вели-

чиной, распределённой по показательному закону с параметром λ = 0,3 договора .

Найти вероятность того, что оформление договора займёт менее 7 ч. Найти сред-

нее время оформления договора.
222.	Случайная величина X Exp(µ). Найти P{a			X b}.
223.	Случайная	величина	X Exp(µ).	Найти:	а) P{0 X τ},

б) P{t X t + τ | X t}.

224. Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии показа- тельного распределения (см. табл. 3.2).

Нормальное распределение

225. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине распре- делены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием a = 100 и средним квадратичным отклонением σ = 16 . Записать выражения для функции распределения коэффициента интеллекта и плотности его распределе- ния. Построить графики этих функций.

−

(z−100)2

x−100

−

(x−100)2

ϕ(

x−100

∫ e

РЕШЕНИЕ.

F(x) =

512

dz =

+ Φ0 16

f(x) =

512

16 2π

−∞

графики этих функций представлены на рис. 3.1.

а)

б)

Рис. 3.1. График функции распределения (а) и кривая распределения (б) в задаче 225

226.В условиях задачи 225 найти долю людей, у которых коэффициент интел- лекта окажется: а) меньше 60; б) меньше 75; в) меньше 95; г) меньше 100; д) меньше 120; е) в пределах от 80 до 120.

227.В условиях задачи 225 найти долю людей, у которых коэффициент интел- лекта отклонится от 100 менее, чем на 48.

228.В условиях задачи 225 найти вероятность того, что из шести независимо отобранных человек у двоих коэффициент интеллекта будет выше 92.

229.Случайная величина X N(a = 0;σ = 1). Построить кривую распределе-

ния этой случайной величины, график её функции распределения. Найти коор- динаты плотности распределения f (x) и функции распределения F(x) при

x = 1; −1; 2,25. Вычислить и указать на обоих графиках следующие вероятности:

P{X< 1}; P{X>−1}; P{|X|< 1}; P{|X |< 3}; P{0<X<3}.

230.	Случайная величина			X N(a = 1;σ = 1). Найти вероятности P{X > 2},
P{X < 2}, P{0 < X < 2} и P{X < 2 \| X > 0}.
231.	ПРАВИЛО	ТРЁХ	СИГМ. Случайная			величина X N(a;σ). Найти
P{\|X −MX\|< 3σX }.
232.	Доказать,	что	для	случайной	величины			X N(a;σ) P{α<X<β} =
=P{α	X<β}=P{α<X β}=P{α			X β}=Φ0 (	β−a	)−Φ0 (	α−a		∆
					σ		σ	), P{\|X −a \|<∆}= 2Φ0	σ .

233. Случайная величина X N(a = 2;σ = 3). Найти вероятности P{X > 1},

P{−2 < X 2}, P{X < 2} и P{X < 2 | X > 0}. Записать «правило трёх сигм» для этой случайной величины.

234.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии нормаль- ного распределения (см. табл. 3.2).

235.Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределени- ем с математическим ожиданием 15,28 руб. и средним квадратичным отклонением

0,12 руб. Рассчитать вероятности того, что цена акции окажется: а) не ниже

15,50 руб.; б) не выше 15,00 руб.; в) между 15,10 руб. и 15,40 руб.; г) между 15,05 руб.

и15,10 руб.

236.Цена некоторой акции распределена нормально. В течение последнего го- да в 20% рабочих дней цена была меньше 20 руб., а в 75% рабочих дней она была

больше 25 руб. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное откло- нение цены этой акции.

237.Из данных, полученных от руководства цеха при его проверке, следует, что брак составляет 5% всей выпускаемой продукции. По данным, полученным из технической документации, установлено, что размер продукции представляет со- бой случайную величину, распределённую по нормальному закону с математиче- ским ожиданием, равным 10 мм, и средним квадратичным отклонением, равным 0,2 мм. Величина максимально допустимого отклонения размера детали от номи- нального, при котором деталь ещё считается годной, составляет 0,3 мм. Оценить с помощью вероятности достоверность информации, полученной от руководства цеха о качестве выпускаемой продукции.

238.При расследовании причин аварии было установлено, что она могла про- изойти из-за установки на автомобиль детали, размеры которой выходят за преде- лы допустимого интервала (15 мм; 25 мм). Известно, что размер деталей, посту- пающих на конвейер автозавода, представляет собой случайную величину, рас- пределённую по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 20 мм, и средним квадратичным отклонением, равным 5 мм. Оценить вероятность того, что причиной аварии послужила установка на автомобиль детали нестан- дартного размера.

239.ПРАВИЛО ШЕСТИ СИГМ. Крупнейшие мировые корпорации при статисти- ческом контроле качества продукции переходят в настоящее время на правило шести сигм. Напомним, что правило трёх сигм означает, что некачественная про-

дукция (не попадающая в интервал (MX−3σX ; MX+3σX )) составляет

100 −99,73 = 0,27%, т. е. на каждые 10 000 единиц продукции допустимо изготов- ление не более, чем 27 некачественных. Пояснить, в чём заключается правило шес- ти сигм: какова допустимая доля некачественной продукции?

Логнормальное распределение

240.Указать недостатки использования нормального распределения для при- ближения распределений цен активов. Объяснить, как логнормальное распреде- ление используется для преодоления этих недостатков.

241.Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии логнор- мального распределения (см. табл. 3.2).

242.Статистика по вкладам населения в некоторый банк говорит о том, что размер вклада случайно выбранного клиента распределён по логнормальному за- кону с параметрами a = 1 200 ден. ед., σ = 2 ден. ед. Определить: а) средний раз-

мер вклада; б) долю клиентов, размер вклада которых составляет не менее

1000 ден. ед.

243.Месячный доход случайно выбранной семьи из некоторой социальной группы описывается логнормальным законом распределения с математическим ожиданием 1 000 ден. ед. и средним квадратичным отклонением 600 ден. ед. Най- ти долю семей, имеющих доход менее 1 500 ден. ед.

245.Найти: а) P{|T10|<2,23}; б) P{−1,81<T10<3,17}; в) P{−1,81<T40<3,17}.

246.Найти P{|F3;16|>3,24}.

247.ТРЕУГОЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (РАСПРЕ-

ДЕЛЕНИЕ СИМПСОНА). Плотность распределе- ния случайной величины X изображена на рис. 3.2. Найти функцию распределения, мате- матическое ожидание и дисперсию этой слу- чайной величины.

Рис. 3.2. График плотности треугольно- го распределения

248. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины X , плотность распределения которой имеет вид

x<0,

f (x) =

−

2σ2

σ2

РЕШЕНИЕ.

Очевидно,

≡ 0

при

x < 0 .

При

0dr +

F(x)= ∫

f(r)dr = ∫

( )

−∞

−

x 2

−

x 2

+∫

2σ2 dr =∫ e

(σ 2 )

=−∫ e

(σ 2 )

−(

)

=−e

(σ 2 )

0=−e 2σ2 +e0= 1−e

2σ2 .

2σ

+∞

MX = ∫

rf(r)dr= ∫ r 0dr + ∫

e−

dr=σ

2 ∫

(

)2 e−(

)

d (

)={замена

2σ2

σ2

−∞

+∞

−t2

+∞

−t

+∞

−t2

+∞

−t2

= σ

2 ∫

= σ 2

∫ t 2te

= −σ

∫ t e

)

=−σ

2 ∫

t de

= {почастям}=

2t e

d(−t

+∞ +∞

+∞

−

−t

= −

−

∫

{заменаu= 2t}

σ 2

∫

du =

σ 2 t e

+∞

−

∫

= σ

2π

du = σ

2πΦ0(+∞) = σ

2π

= σ

2 .

2π

§3.4. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ, МОМЕНТЫ, МОДА, МЕДИАНА И КВАНТИЛИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Начальным моментом k -го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k -й степени случайной величины X :

ν (X) = M(Xk ), k = 0,1,2 ….	(3.33)
k

Центральным моментом k -го порядка случайной величины X называется математическое ожида-

ние k -й степени отклонения случайной величины X от своего математического ожидания:

µ (X) = M[(X −MX)k ], k = 0,1, 2,….			(3.34)
k
Справедливы следующие выражения для центральных моментов:
µ0(X) = ν0(X) = 1;			(3.35)
µ1(X) = 0 ;			(3.36)
µ (X) = ν	2	(X)−ν2(X);	(3.37)
2	2	1

	µ (X) = ν			(X)− 3ν			(X)ν	2	(X) + 2ν3				(X) ;		(3.38)
	3		3			1		2				1
µ (X) = ν		4	(X)− 4ν		(X)ν	(X) + 6ν2				(X)ν	2	(X)− 3ν4		(X).	(3.39)
4		4		1	3				1		2		1

Производящей функцией случайной величины X называется функция от параметра t (вообще го-

воря, комплексного), равная

m	X	(t) = MetX .	(3.40)
	X

Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначаю- щий эту случайную величину, опускается: m(t) ≡ mX (t).

Начальные моменты случайной величины X выражаются через производные её производя- щей функции1:

для всех k = 0,1,2,…: ν			(X) = m(k)(0),	(3.41)
где m(k)(t) — k -я производная функции m		k	X
где m(k)(t) — k -я производная функции m	X	(t).
X	X

Если t = iu (где i = −1 ), то производящая функция переходит в характеристическую функ- цию, широко используемую в фундаментальной теории вероятностей и теории меры.

Производящая функция случайной величины обладает следующими свойствами:
mcX (t) = mX (ct);	(3.42)
mX +Y (t) = mX (t)mY (t)	(3.43)

(здесь X,Y — независимые случайные величины, c — неслучайная постоянная).

В качестве показателя центра группирования значений случайной величины, наряду с мате- матическим ожиданием, используются также медиана и мода.

Медианой абсолютно непрерывной случайной величины X называется такое число MeX , что

P{X < MeX} = P{X > MeX} = 0,5 .

(3.44)

Медиана MeX дискретной случайной величины X (заданной рядом распределения (3.9) — это любое число, которое находится на отрезке [xl ; xl+1 ], определяемом из условий

l	l+1
∑pi	0,5; ∑pi > 0,5 ,	(3.45)
i=1	i=1

и называемом медианным. В качестве медианы MeX обычно используют значение, получаемое линейной аппроксимацией:

	x		−x			1	l
	x	l+1	−x			1
		l+1		l
MeX = xl +							− ∑pi .	(3.46)
MeX = xl +		p					− ∑pi .	(3.46)
		p			2		i=1
		l+1					i=1
Модой абсолютно непрерывной случайной величины				X называется точка локального максимума
плотности распределения:							(x).	(3.47)
f (MoX) = max f							(x).	(3.47)
X			x			X

Модой дискретной случайной величины X называется значение этой случайной величины, соот- ветствующее наибольшей вероятности:

MoX = xi , такое, что pi	= max pj .	(3.48)
	j

Распределения, имеющие одну моду, называются одномодальными.

Коэффициент асимметрии AX случайной величины X характеризует скошенность кривой рас-

пределения этой случайной величины относительно её математического ожидания и вычисляет- ся по формуле

A	X	=	µ3(X)	.	(3.49)

			σ3
			X

1 Если эти производные существуют.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>