Укрупнённая блок-схема

задать k, e, x⁰

создать P={p1,p2,p3}

Да

одномерный поиск вдоль направления piв точкуxⁱ

i++

d_k= xⁿ⁺¹- x⁰;

xⁿ⁺²= xⁿ⁺¹+ α^k+1 * d^k

Нет

Да

Ответы на вопросы

1) Построить систему сопряженных направлений методом Пауэлла для функции трех переменных

2)Как реализуется свойство параллельного подпространства в методах Пауэлла-1 и Пауэлла-2?

В методах Пауэлла 1 и Пауэлла 2 свойство параллельного подпространства реализуется за счёт того, что последнее направление d^kна k-ом шаге и предыдущее направление совпадают и

(d^k)H d^k-1

3)Какие модификации реализованы в методе Пауэлла для произвольных функций?

В методе Пауэлла введены следующие модификации :

а) Нормировка всех векторов

б) Определение эффективности нового поискового направления из условия:

4)Для функции y(x) = 3x₁² + 5x₂² привести 2 итерации поиска Хука–Дживса. Принять x¹ = (2; 1)^t, h = (0.5; 0.5)^t,e=0.0001.

y(x1)=17;

1)x2=x1+h*e1=(2;1)^t+(0.5;0)^t=(2.5;1)^t y(x2)=23.75>y(x1) => неудача

x2=x1-h*e1=(1,5;1)^t y(x2)=11.75<y(x1) => удача x2=(1,5;1)^t

x2a=x2+h*e2==(1,5;1)^t+(0;0.5)^t=(1.5;1.5) y(x2a)=18>y(x2) => неудача

x2a=x2-h*e2==(1,5;1)^t+(0;-0.5)^t=(1.5;0.5) ^t y(x2a)=8<y(x2) => удача x2=(1.5;0.5)^t

ИП1 - удачен

3)x3=2*x2-x1=2*(1.5;0.5)^t -(2;1)^t =(1;0);

x1=x2=(1,5;1)^t; y(x1)=11.75

x4=x3+h*e1=(1.5;0)^t y(x4)=6.75<y(x1) => удача x4 =(1.5;0)^t

x4a=x4+h*e2=(1.5;0.5)^t y(x4a)=8 => неудача

x4a=x4-h*e2=(1.5;-0.5)^t y(x4a)=8 => неудача

ИП2 - удачен

4)x2=x4=(1.5;0)^t

3)x3=2*x2-x1=(1.5;-1);

x1=x2=(1,5;0)^t; y(x1)=6.75

x4=x3+h*e1=(2;0)^t y(x4)=12>y(x1) => неудача

x4=x3-h*e1=(1;0)^t y(x4)=3<y(x1) => удача x4=(1;0)^t

x4a=x4+h*e2=(1;0.5)^t y(x4a)=4.25>y(x4) => неудача

x4a=x3-h*e2=(1;-0.5)^t y(x4a)=18>y(x1) => неудача

ИП2 – удачен

4) x2=x4=(1;0)^t

3) x3=2*x2-x1=(0.5;0);

x1=x2=(1;0)^t; y(x1)=3

x4=x3-h*e1=(0;0)^t y(x4)=0<y(x1) => удача x4=(0;0)^t

x4a=x4+h*e2=(0;0.5)^t y(x4a)=1.25>y(x4) => неудача

x4a=x4-h*e2=(0;-0.5)^t y(x4a)=1.25>y(x1) => неудача

ИП2 – удачен

4) x2=x4=(0;0)^t

3) x3=2*x2-x1=(-1;0);

x1=x2=(0;0)^t; y(x1)=0

x4=x3-h*e1=(-1.5;0)^t y(x4)=6.75>y(x4) => неудача

x4=x3+h*e1=(-0.5;0)^t y(x4)=0.75>y(x4) => неудача

x4=x3+h*e2=(-1;0.5)^t y(x4a)=4.25>y(x4) => неудача

x4=x3-h*e2=(-1;-0.5)^t y(x4a)=4.25>y(x1) => неудача

ИП2 – неудачен

1)x1=(0;0)^t y(x1)=0

очевидно, что ИП1 будет неудачен, т.к. x1-точка минимума

2)h=h/2=0.25

и так далее, пока hне станет меньшеe.

5) Дана функция y(x) = x₁² + 2x₂² + x₁x₂ + x₁, начальная точка x¹ = (0; 0)^t. Построить систему взаимно-ортогональных направлений методом Розенброка

p1=(1;0) p2=(0;1)

x2=x1+a1*p=(a1;0)

y(x2)=a1²+a1; y’=2a1+1=0; a1 =-0.5; x2=(-0.5;0)

x3=x2+a2*p2=(-0.5;a2); y(x3)=0.25+2*a2²-0.5*a2-0.5; y’=4*a2-0.5; a2=0.125;

A=(a1;a2)=(-0.5; 0.125)

1)A1=a1*p1+a2*p2=(-0.5; 0.125)

B1=A1=(-0.5; 0.125)

d1=B1/||B1||=(-1; 0.25)

2)A2=a2*p2=(0; 0.125)

B2=A2-A1*d1*d1=(0.03; 0.12)

d2= B1/||B1||= (0.24;1)

Итак d1=(-1;0.25),d2=(0.24;1)

6) Перечислить критерии окончания поиска, используемые в методах нулевого порядка

1)||grad(y)|| <e

2)

3) Счётчик числа итераций

Вывод

В данной работе были изучены прямые методы многомерной минимизации для поиска минимума целевых функций. В работе был исследован метод Пауэлла1.