4) Ду типа Бернулли
Если n = 1, то это – уравнение с разделяющимися переменными, если n = 0, то это – линейное уравнение.
Заметим,
что при n > 0
- решение уравнения.
Способы решения
1) Сведение к линейному уравнению заменой
Разделим
обе части уравнения на
,
Получили
линейное уравнение относительно
.
Этот метод применяется редко, так как уравнение Бернулли можно решать теми же методами, что и линейное уравнение, не приводя его предварительно к линейному.
2)Решение методом подстановки.
Полагаем
,
подставляем
в исходное уравнение
.
Точно
так же, как при решении линейного
уравнения, решаем, например, уравнение
.
Подставляем полученную функцию, решаем
«оставшееся» уравнение с разделяющимися
переменными
.
Заметим, что оно получилось точно таким же, как в методе вариации. Поэтому вторая функция в методе подстановки и есть та самая варьируемая постоянная. Затем записываем решение .
Видим, что метод вариации и метод подстановки, фактически, один и тот же метод. Просто в методе подстановки с самого начала используется то, что решение представляется в виде произведения двух функций независимой переменной.
4 Ду второго порядка, частные и общие решения. Задача Коши, её геометрическая интерпретация.
Геом интерпретация задачи Коши для ДУ 2-го порядка [ y" = f ( x , y, y' ), y(xo) = yo, y' (xo) = y1 ]: Найти интегральную кривую дифф уравнения y" = f ( x, y, y' ) , проходящую через данную точку Mo(xo; yo) и имеющую в данной точке заданный угловой коэффициент касательной k = y1.
5 Решение ду высших порядков (2го порядка)
Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение.
.
F(x, y’, y”)=0
Уравнение
не содержит явно y
, его вид
или
.
Здесь
применяется подстановка
- вводится новая функция
старой переменной. Уравнение сводится
к уравнению первого порядка
.
3) F(y, y’, y”)=0
Уравнение
не содержит явно x
, его вид
или
.
Здесь
применяется подстановка
- вводится новая функция
новой переменной. Уравнение сводится
к уравнению первого порядка
.
Однородное уравнение относительно .
Уравнение
называется однородным относительно
,
если при замене
уравнение не изменится.
Здесь
применяется подстановка
.
Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.
Пример.
.
Запишем
уравнение в виде
6 ) Используя формулы
6 ЛДУ н-го порядка, однородные и неоднородные.
Линейное однородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде
.
