Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ

В этой главе мы покажем, что критическая размерность для фермионной струны равна 10. Кроме того, интерсепт равен 1/2 для модели Неве — Шварца и обращается в нуль в случае гра­ничных условий Рамона. Эти критические значения определя­ются как БРСТ-методом, так и методом световой калибровки. Они совпадают со значениями, получаемыми в рамках ковари-антного подхода, который здесь не рассматривается.

Как правило, мы рассматриваем вычисления только для случая открытой струны, если не оговорено другое.

15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца

15.1.1. Фоковское пространство духов

Кроме фермионных духов, встречавшихся выше, духовые моды теперь содержат коммутирующие степени свободы, которые мы обозначим символами q_s и n_s- Так как они ассоциируются с фер-мионными связями G_s=0_t то нумеруются полуцелыми числа­ми. Они удовлетворяют соотношениям

Все остальные коммутаторы равны нулю. Можно определить

_{У 2 Я? = Qs + "Ь> -уf2 vs = qs — ms. (15.1.1.3)}

Эти новые переменные удовлетворяют осцилляторным коммута­ционным соотношениям. Отметим, что операторы v₅ рождают из вакуума состояния с отрицательной нормой, а нульмодовые коммутирующие духи отсутствуют, поскольку нет нульмодовых: фермионных связей.

220 Глава 15

15.1.2. Брст-оператор

Согласно общим правилам, приведенным в работах [30, 31], БРСТ-оператор дается выражением

^{Q = QS + £ Gr(j_r _ £ 5*_r_s(?y - i £ n_m_srfqs (s - m/2),}

r=~~ oo r, s s, m

(15.1.2.1)

где Q^e — БРСТ-оператор для бозонной струны.

Нормальное упорядочение этого выражения приводит к вы­ражению

• ^^ К) ' * j j*^ "

(r + m/2) (n_r__m4

r>00<т<л

(г

m>0 0<r<m

- 2 S <?;₉Л -ilr (n'_rq_r - qX) Л⁰- (15.1.2.2)

r>0 r>0

Неоднозначность упорядочения проявляется лишь в члене с т]°. Два возможных способа упорядочения приводят к коэффициен­там перед т]⁰, отличающимся на вещественное с-число, которое поглощается константой с&о.

Упражнение. Проверьте классическую нильпотентность Q, [Q, Я] = 0.

15.1.3. Критическая размерность

Нильпотентность квантового БРСТ-генератора снова не очевид­на вследствие неточной коммутативности (или антикоммутатив­ности) квантовых операторов.

Если не считать члена с «о и центрального заряда суперал­гебры Вирасоро, то ненулевые вклады в Q² возникают лишь бла­годаря духам. Эти вклады появляются вследствие того, что ан­тикоммутаторы, аналогичные антикоммутаторам (13.2.4.2), не являются нормально упорядоченными.

Фермионная струна: квантовый анализ 221

В явном виде получаем

/г>0

[(^i^J£) ]?A- (15.1.3.1)

s>0

Если положить Q²=0, то получаем упомянутые выше условия

(15.1.3.2)

Интерсепт все еще положителен, и в спектре присутствуют та­хионы.

Упражнение. Проверьте соотношение (15.1.3.1).

Критическая размерность для фермионной струны недавно была вычислена теми же методами, которые использовались в работах [35, 51, 52].

15.1.4. Структура физического подпространства

Теперь мы охарактеризуем все решения уравнения Q|if>>=0. Для определенности состояние |г|з) считается вектором, опреде­ляемым выражением

I ♦> = Е А* I ♦*>, (15.1.4.1)

где Xk — функции только нулевых мод:

. О- (15.1.4.2)

а \tyk) — векторы из фоковского пространства. Состояние (15.1.4.1) может быть записано также в виде

(15.1.4.3)

чтобы выделить нулевую моду фермионного духа. БРСТ-оператор (15.1.2.2) имеет вид

Q = (_a'p2 _{+ L} _ _ао) _ло __ _m^_{g +} q₍ (15.1.4.4)

где, как и в случае бозонной струны, L — БРСТ-инвариантное расширение оператора номера уровня, которое включает также

духи:

_{L = Na + Nb + N4 + Nq, (15.1.4.5)}

222 Глава 15

где

N^a = Z na_n^Aa_An, N^b=Zsb*_s^Ab_As, (15.1.4.6)

П>0 s>0

(15.1.4.7a)

N'=-i Z_oт «<?_Л - q'_rn_r) = I_or (H>_r- v'_rv_r). (15.1.4.76)

Оператор М определяется выражением

Е q-_rq_r; (15.1.4.8)

Q — остающаяся часть БРСТ-генератора, которая не содержит нулевых духовых мод.

Легко проверить выполнение следующих коммутационных соотношений:

[L, M] = 0 = [L, Q] = [M, Q], (15.1.4.9)

и, кроме того, нильпотентность оператора Q в подпространстве о!р² + L — а₀ = 0.

БРСТ-оператор, действуя на состояние (15.1.4.3), дает

Q\a) — M\b)+ [(а'р² + L - а_о)| а) + Q Из этого факта вытекает следующая теорема.

Теорема. Член с i]° в любом состоянии |vp> может быть по­глощен состоянием вида £2|х)-

Доказательство. Выберем состояние |х> равным |а') (т. е. г]⁰ не дает вклада в |х>). ^гД^е \^а'У — решение уравнения

-а'П +L-a_o)\a')=-\b). (15.1.4.11)

Это уравнение всегда имеет решения, как можно видеть, раз­лагая |6> так же, как в выражении (15.1.4.1):

\b)=T.KW)\b_k). (15.1.4.12)

/с

Здесь можно принять, что фоковский вектор \b_k} имеет опреде­ленный номер уровня L_k. Поэтому уравнение (15.1.4.11) прини­мает вид

(_«' □ + L_k - «о) щ = - К_к9 (15.1.4.13)

откуда определяются неизвестные коэффициенты ц_к(Х^А} в раз­ложении | а') — Yuk Vk I ^ak)- ^^сно> ^что Уравнение (15.1.4.13) все­гда можно решить, хотя \i_k, а следовательно, |а'> могут расхо­диться на бесконечности, если |6> имеет ненулевую составляю­щую вдоль пространства а'р² + L — ао = 0.

Фермионная струна: квантовый анализ 223

При добавлении Q\%) к \лр) получаем |6) = 0. Это доказы­вает теорему.

С этого момента мы считаем |Ь)=0, или, что то же самое, допускаем наличие неограниченных функций, таких как |х> в Q|x>, так что состояние \Ь} может быть устранено.

Кроме того, мы регуляризуем плохо определенное скалярное произведение решений уравнения Q|^>=0, содержащее (как отмечалось выше) фактор 6(0)-0, возникающий при интегриро­вании по массе и по ц°, полагая 6(0)-0 равным единице, чтобы восстановить обычную нормировку клейн-гордоновских реше­ний. Как объяснялось в разд. 13.2.7, до сих пор не существует строгого формализма, который позволял бы избежать трудности, связанной со скалярным произведением.

Допущение неограниченных функций |/> в Q\%) дает боль­шое преимущество, состоящее в устранении удвоения состояний, не имеющего существенного физического значения.

Если \Ь)=0, то физическое условие БРСТ-инвариантности сводится к условиям

Й|а> = 0, (15.1.4.14а)

L-a₀)\a)=0. (15.1.4.146)

Нулевая духовая мода устранена, и состояние |а> должно при­надлежать массовой поверхности.

Уравнение (15.1.4.14а) анализируется так же, как в бозон-ной модели, — путем использования квартетного механизма Куго и Одзимы. Можно показать, что любое состояние, удов­летворяющее уравнениям (15.1.4.14), имеет вид

| _а) = | Р)\ 0)_дух + Q| с), (15.1.4.15)

где |0>д_Ух — вакуум духов (для ненулевых мод), а \Р) — физи­ческое состояние ковариантного подхода:

(L_o - а₀) | Р> = О, L_n\P) = 0 (я>0), . (15.1.4.16)

G_r\P) = 0

Фактически состояние |Я> в решении можно считать "попереч­ным" [51—53]. Это приводит к доказательству теоремы об от­сутствии духов, основанному на БРСТ-методах. Рассмотрение "поперечных", т. е. обобщенных состояний ДДФ в модели фер-мионной струны можно найти в работах, цитируемых в [54] (см. также [18,54а]).

Соотношения (15.1.4.15), (15.1.4.16) и предыдущая теорема приводят вместе к следующему выводу.

224 Глава 15

Теорема. Любое состояние, удовлетворяющее уравнению —О, может быть записано в виде

Н) = 1^)|0)_дух + Й|х>, (15.1.4.17)

где \Р) — не содержащее духов физическое состояние:

(L₀-l/2)|P>-0,

(я>0), (15.1.4.18)

= 0 (г>0).

Заметим, наконец, что если ограничить асимптотическое по­ведение |х> на бесконечности, то возникнет удвоение. При этом уравнение (15.1.4.17) заменяется уравнением

(15.1.4.19)

Кроме того, в случае замкнутой струны имеет место более сложный вариант удвоения, связанный с нулевой модой L_o — L_o.