15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди

Алгебра Вирасоро

[L_m, L_n] = (m — n)L_m+n-\-^(m³~m)6_mt__nf (13.1.5.1)

которая, как мы видели, непосредственно связана с конформ­ной симметрией, в последнее время нашла много приложений не только в теории струн, но также в статистической механике [21]. Поэтому исследование ее представлений вызвало значи­тельный интерес [22].

Существуют и другие бесконечномерные алгебры, имеющие физические приложения. Среди них алгебры Каца — Муди [23] также играют роль в моделях струн. Они определяются следую­щим образом. Рассмотрим конечномерную алгебру Ли G со структурными константами С^аь_с и (матричными) генератора­ми Т_а. Генераторы М_ат ассоциированной аффинной алгебры Каца — Муди удовлетворяют коммутационным соотношениям

[М_ату М_Ьп] = С^с_аЬМ_ст+п + стб_т} __ng_ab, (13.1.5.2)

где gab — тензорный инвариант присоединенного представления, т и п-—положительные и отрицательные целые числа.

Алгебры Каца — Муди с нулевым центральным зарядом с = 0 легко построить следующим образом. Рассмотрим мат­рицы M_am = T_ae^imB. Они удовлетворяют соотношениям

(13.1.5.3)

определяющим алгебру, которая называется алгеброй петель, по­скольку последняя ассоциируется с отображениями окружности

162 Глава 13

в алгебру Ли G: когда 6 пробегает значения от 0 до 2л, М_ат описывает петлю в G.

Мы уже сталкивались с алгеброй Каца — Муди, когда рас­сматривали трансляционные токи \^а_А. Действительно, изотроп­ные компоненты j^a_A, определяемые как j_A = j°_a zh j^l_a, равны ¹)

(13.1.5.4)

где знаки ± относятся не к координатам светового конуса фоно­вого пространства-времени, а к изотропным направлениям вдоль струны.

Непосредственное вычисление дает

(13.1.5.5а) (13.1.5.56) (13.1.5.5b)

В случае открытой струны²) определяется величина

(13.1.5.6)

/л и ее фурье-разложение

Х (13.1.5.7)

Из уравнений (13.1.5.5) следует

[«Лт, «ЯJ = МЧАВ?*™, -». (13.1.5.8)

Величины а — фурье-компоненты токов-—образуют (при ком­мутировании) замкнутую алгебру Каца — Муди с нетривиаль­ным центральным зарядом, основанную на группе трансляций. Величины алп можно связать с осцилляторными перемен­ными посредством соотношений

«ло = — V2&' Ра,

(я > 0). (13.1.5.9)

¹) Для упрощения последующих выкладок мы ввели в выражение {13.1.5.4) подходящие нормирующие множители.

²) Наша общая тактика на последующих страницах снова будет заклю­ чаться в рассмотрении открытой струны с последующими краткими замеча­ ниями об особенностях замкнутой струны в тех случаях, когда это необ­ ходимо.

Квантование струны Намбу — Гото 163

Они отличаются от величин алп в упражнении 2 в разд. 12.4.1

простым множителем y2of.

Существует тесная связь между алгеброй Вирасоро компо­нент энергии-импульса и алгеброй Каца— Муди (13.1.5.8) трансляционных токов. Это объясняется принадлежностью тео­рий к "типу Сугавары" с тензором энергии-импульса, квадра­тичным по токам [24].

Действительно, из уравнений (12.3.2.1) и (13.3.2.5) находим

„ = я J :j_A(o)j^A(o):e^tnado, (13.1.5.10)

— л

где символ : : обозначает нормальное упорядочение. Разложе­ние (13.1.5.7) позволяет представить выражение (13.1.5.10) в виде

¹п = тТ,'-^аАп-,п<- (13.1.5.11)

т

(в соответствии с упражнением 2 в разд. 12.4.1)

Упражнения

1. Исследуйте алгебру лоренцевых токов.

2. Исследуйте алгебру величин L_n вместе с а_т.