16. Напряжения и деформации.

Вектор напряжения Р_n может быть охарактеризован 3-мя проекциями на оси коор. x,y,z; соответ. P_nx, P_ny, P_nz. Норм. напряжения: P_zz (σ_z), P_xx (σ_x), P_yy (σ_y). Остальные явл-я касат. напряжениями: τ_xy, τ_xz, τ_yx, τ_yz, τ_zx, τ_zy. τ_xy=τ_yx, τ_yz=τ_zy, τ_zx=τ_xz. Эти равенства выражают з-н взаимности касат. напряжений и показывают, что напряженное сост-е в любой точке сплош. среды вполне опред-я 6 составляющими: σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_yz, τ_zx – составляющие тензора напряжений. Если какое-либо тело испытывает возд-е внеш. или внут. сил, то оно нах-я в напряж. состоянии, а след-но подвергается деформации. Под деформацией тела понимают изменение вел-ны составляющей тензора напряж-я при переходе от одной точки тела к соседним точкам, вследствие перемещения этих точек относ. друг друга и частичного снятия напряженного сост-я в теле. γ_xx, γ_yy, γ_zz – составляющие тензора деформации.

17. Удлинения и сдвиги.

Сдвиги: γ_xx=2∂U/∂x; γ_yy=2∂V/∂y; γ_zz=2∂W/∂z.

Относительное удлинение ε_s: 2ε_x=dx²= γ_xxdx² → γ_xx=2ε_x; для оси x, для к-рого ds имеет проекции (dx,0,0). Аналогично: γ_yy=2ε_y и γ_zz=2ε_z.

Формулы связывающие относ. удлинение (ε) и сдвиги (γ) с произвольной переменной: ε_x=∂U/∂x и γ_xy=∂U/∂y+∂V/∂x; ε_y=∂V/∂y и γ_zy=∂V/∂z+∂W/∂y; ε_z=∂W/∂z и γ_zx=∂W/∂x+∂U/∂z.

18. Связь напряжений, деформаций, удлинений и сдвигов. Уравнения Коши.

Ф-лы связывающие относ. удлинение (ε) и сдвиги (γ) с произвольной переменной:

ε_x=∂U/∂x и γ_xy=∂U/∂y+∂V/∂x; ε_y=∂V/∂y и γ_zy=∂V/∂z+∂W/∂y; ε_z=∂W/∂z и γ_zx=∂W/∂x+∂U/∂z.

Завис-ть м/у деформациями и напряжениями (обоб. з-н Гука):

ε_x=с₁₁σ_x+ с₁₂σ_y+ с₁₃σ_z+ с₁₄τ_xy+ с₁₅τ_yz+ с₁₆τ_zx; ε_y=с₂₁σ_x+ с₂₂σ_y+ с₂₃σ_z+ с₂₄τ_xy+ с₂₅τ_yz+ с₂₆τ_zx; ε_z=с₃₁σ_x+ с₃₂σ_y+ с₃₃σ_z+ с₃₄τ_xy+ с₃₅τ_yz+ с₃₆τ_zx; γ_xy =с₄₁σ_x+ с₄₂σ_y+ с₄₃σ_z+ с₄₄τ_xy+ с₄₅τ_yz+ с₄₆τ_zx; γ_yz =с₅₁σ_x+ с₅₂σ_y+ с₅₃σ_z+ с₅₄τ_xy+ с₅₅τ_yz+ с₅₆τ_zx; γ_zx =с₆₁σ_x+ с₆₂σ_y+ с₆₃σ_z+ с₆₄τ_xy+ с₆₅τ_yz+ с₆₆τ_zx;

Ур-я Коши:

P_nx= σ_x*cos(n,x)+ τ_yx*cos(n,y)+ τ_zx*cos(n,z); P_ny= τ_xy*cos(n,x)+ σ_y*cos(n,y)+ τ_zy*cos(n,z); P_nz= τ_xz*cos(n,x)+ τ_yz*cos(n,y)+ σ_z*cos(n,z).

19. Обобщенный з-н Гука.

В основе класс. теории упругости лежит обобщ. з-н Гука, т.е. предпол-е о лин. завис-ти м/у прилаг. к телу напряжением и вызываемой этим напряжением деформацией. Это предположение оказ-я справедливым при малых деформ-ях и в тех случаях, когда напряж-е в среде не превышает пределов упругости. Согласно обобщ. з-ну Гука для анизотропных тел можно записать след. зависимости м/у деформациями и напряж-и: ε_x=с₁₁σ_x+ с₁₂σ_y+ с₁₃σ_z+ с₁₄τ_xy+ с₁₅τ_yz+ с₁₆τ_zx; ε_y=с₂₁σ_x+ с₂₂σ_y+ с₂₃σ_z+ с₂₄τ_xy+ с₂₅τ_yz+ с₂₆τ_zx; ε_z=с₃₁σ_x+ с₃₂σ_y+ с₃₃σ_z+ с₃₄τ_xy+ с₃₅τ_yz+ с₃₆τ_zx; γ_xy =с₄₁σ_x+ с₄₂σ_y+ с₄₃σ_z+ с₄₄τ_xy+ с₄₅τ_yz+ с₄₆τ_zx; γ_yz =с₅₁σ_x+ с₅₂σ_y+ с₅₃σ_z+ с₅₄τ_xy+ с₅₅τ_yz+ с₅₆τ_zx; γ_zx =с₆₁σ_x+ с₆₂σ_y+ с₆₃σ_z+ с₆₄τ_xy+ с₆₅τ_yz+ с₆₆τ_zx. Коэф. с₁₁- с₆₆ полностью хар-ют упругие св-ва однородн. тела и наз. упругими постоянными. Для однородн. тел эти коэф. постоянны по всему объему тела, а для неоднород. тел является ф-ция от координат.

20. Константы идеально упругих тел. Упруг. тело, для кот. имеют место завис-ти, сод-е 21 упруг. const, должно обладать разл. упруг. св-ми в разл. напр-ях. Так, напр-р, при растяжении по напр-ю оси x соотв. удлинение , тогда как при растяжении по напр-ю оси y (только ) соотв- удлинение . Тела с такими упруг. св-ми наз-я анизотропными. К ним относ-я как правило, кристаллы. Модули упругости монокрист-в знач-но отл-я по вел-не, а иногда и по знаку. Также неодинаковы они по знаку, знач-ям и числу для разных по стр-ре минералов. Тела, облад-е одинак. упруг. св-ми во всех напр-ях, наз-я изотропными. Для опис-я упругости однородных и изотр. поликрист-х минералов дост-но двух любых прост. модулей упруг-ти.

21. Модули упругости. Классификация г.п. по модулям упругости. Е - модуль Юнга, хар-ет упругость тела. Наряду с модулем Юнга упруг. св-ва г. п. опис-я коэф-том Пуассона m. Он явл-я коэф-том пропорц-ти м/у относ. прод. и попер. деформациями.

Коэф-т Пуассона для большинства минералов и г. п. нах-я в интервале 0,2–0,4. Искл. явл-я кварц, у кот. из-за специфики строения крист. решетки m достигает 0,07.

Бол-во минералов подчиняются закону Гука. Кристаллы ведут себя как упруг. тела и разруш-я минуя пластическую деформацию, когда напряж-е достигнет предела прочности.

Заметное влияние на упругость г. п. оказывает текстура. Обычно в породах с явно выраж. слоистостью или сланцеватостью (глинистые сланцы) в напр-и перпенд-м к сланцеватости модуль Юнга меньше, чем в напр-и парал-м ей. Устан-но, чем меньше размер кристаллов в г.п., тем больший модуль упругости они имеют.

Под действием t и p такие упруго–хрупкие породы как граниты, крист. сланцы приобретают пласт. св-ва. Т. о., св-ва г. п. влияют на выбор параметров режима бурения.

Г. п. можно подразделить на три группы:

1) упруго-хрупкие, подчиняющиеся закону Гука вплоть до их разрушения;

2) пластично-хрупкие, разруш-ю которых предшествует как упруг. так и пласт. деформация;

3) высокопласт., упруг. деформация кот. незначительна.

22. Скорость продольных и поперечных волн. Ск-ть прод. и попер. волн в минералах изменяется от 2000 до 18000 м/с, попер. – от 1100 до 10000 м/c. Низкие скорости хар-ны для самород. Me (Au, Ag, Pt), высокие – для Al-Si и окисных безжелезистых минералов (топаз, шпинель, корунд), наиб. скорость – в алмазе.

В общем случае скорость упруг. волн в г. п. зависит от мин. состава, их струк. – текст. особ-тей, вкл. объем пор, трещин и их взаимосвязь. Упруг. хар-ки пород также зависят от степени цементации зерен пород, от насыщ-ти порового пр-ва и состава насыщ-го флюида. Ск-ть в минералах зависит от элемент. состава. В самих же хим. элементах ск-ть упруг. колеб-й зависит в свою очередь от стр-ры эл. оболочек, т.е. от атом. радиуса, а также и от атом. массы.

23. Динамические характеристики упругих тел. Энергия упругих колеб-й в сплош. средах необратимо убывает, превращаясь в тепловую и рассеиваясь по разным напр-ям на неоднородность породы (поры, вкрапления, трещины и др.). Процесс поглощ-я энергии упругих колебаний приводит к тому, что амплитуда волн убывает с расст-ем от источника колеб-й по известному экспоненциальному закону:

В реал. г. п. одновременно набл-я как рассеяние, так и поглощ-е волн упругости, обусл-е их неидеал. упругостью и неоднородностью. Отмечается неодинаковая способность пород поглощать энергию упругости прод., попер. и поверхностных волн, что хар-я соответственно коэф-тами поглощ-я .