1Свойства первообразной и неопределенного интеграла.Определение первообразной. Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. Определение неопределенного интеграла. Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается  . Выражение   называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называетсянеопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функцияF(x), а множество ее первообразных F(x)+C. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения. Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:   Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах. Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

• первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

• второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример. Пример. Найти первообразную функции  , значение которой равно единице при х = 1. Решение. Мы знаем из дифференциального исчисления, что   (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом,  . По второму свойству  . То есть, имеем множество первообразных  . При х = 1 получим значение  . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид  .  Пример. Найти неопределенный интеграл   и результат проверить дифференцированием. Решение. По формуле синуса двойного угла из тригонометрии  , поэтому Из таблицы производных для тригонометрических функций имеем То есть,  По третьему свойству неопределенного интеграла можем записать  Обращаясь ко второму свойству, получим  .  Следовательно,  Проверка. Для проверки результата продифференцируем полученное выражение:   В итоге получили подынтегральную функцию, значит, интегрирование выполнено правильно. В последнем переходе была использована формула синуса двойного угла. Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

3 Замена переменной в неопределенном интеграле

     Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:      а)  , где   – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:  ;      б)  , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:  .      Примеры.      1. Найти интеграл  .      Решение. Перепишем данный интеграл в виде  . Так как производная выражения   равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку  . Тогда  . Следовательно,        .      2. Найти интеграл  .      Решение.  , тогда   и        .

4Интегрирование по частям

     Нахождение интеграла   по формуле   называется интегрированием по частям. ЗдесьU=U(х),υ=υ( x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла  , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.      При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть  подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.      Так например, для интегралов вида  ,  ,  , где P(x) – многочлен, за υ следует принятьP(x), а за dU соответствует выражение  ,  . Для интегралов вида   за υ принимаются соответственно функции  , а за   – выражение P(x)dx.      Пример. Найти интеграл  .      Решение. Положим  , тогда  . Отсюда 

5Определение интеграла и его свойства

Определение. Пусть  . Пусть  ,   аддитивна, и ее плотность равна  . Тогда   называется интегралом.

Обозначение. Пусть  . Значение функции   на отрезке  :

Теорема (Ньютон, Лейбниц). Пусть  ,   – первообразная функции  . Тогда 

Доказательство. По теореме о плотности аддитивной функции промежутка,   и равна плотности функции  . По определению тогда   – интеграл функции  .

Свойства интеграла

1. 

2.  .

Доказательство. Пусть   - первообразная  ,   – первообразная  . Тогда   – первообразная  .

3.  .

4. Пусть функция  ,   дифференцируема. Пусть функция   задана на промежутке, содержащем множество значений функции    , причем  . Пусть у функции  есть первообразная. Тогда

Доказательство. Пусть   – первообразная функции  . Тогда

Следствие. Пусть  . Тогда

Доказательство. Положим  , применим предыдущую теорему:

5. Пусть  , функции   и   дифференцируемы, функция   имеет первообразную. Тогда

Доказательство.

Функции   и   имеют первообразные, поэтому и функция   также имеет первообразную, и можем записать

Определение. Пусть  ,  ,  . Тогда

Задача 1. Пусть  . Докажите, что

7

Производная интеграла с переменным верхним пределом

Если в определенном интеграле   изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела. Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x:  . Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:  Доказательство. По определению производной  где    [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]=   [по теореме о среднем]=  где    Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при    . Таким образом,  Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом   является первообразной для функции  .