§3 Распределение Больцмана.
Как мы рассмотрели ранее, микропараметры системы многих частиц являются случайными величинами и для определения их значений нужно знать функции распределения.
Существует различные функции распределения. В классической физике используется классическая статистика Максвелла-Больцмана, в которой движение частиц определяется законами Ньютона, частицы считаются различимыми.
Это распределение частиц по энергиям.
Пусть
система состоит из
материальных точек. Для каждой 3 скорости
и 3 координаты. Разобьем все координатное
пространство и пространство скоростей
на
участков и будем определять число частиц
координаты и скорости которых попали
в
участок от
до
и от
до
.
Энергия частиц
подгруппы:
,
где
- энергия 1 частицы группы.
Энергия
всей системы
,
где
Определим статистический вес состояния из групп по частиц (число размещений). Математика (комбинаторика) дает формулу:
,
подставим это выражение в формулу
Больцмана:
.
Учтем формулу Стирлинга для вычисления факториала:
при
при
величиной
можно пренебречь.
Тогда
У нас идеальный газ находится в фиксированном объеме. Запишем изменение энергии, связанное с тем, что меняется число частиц в группе.
Основное
ТД тождество для открытой системы
:
,
так как
,
то
В
нашем случае, изменение внутренней
энергии частиц в группе и изменение
числа частиц в группе связаны:
; 
,
отсюда изменение энтропии, связанное
с тем, что меняется число частиц в
группе:
Подставим полученное выражение в основное ТД тождество для открытой изохорической системы:
сгруппируем
отсюда
.
Теперь выразим отношение
:
,
,
следовательно
,
так как величина
,
то можно ее обозначить
,
тогда с учетом, того что
вероятность частицы попасть в
участок, мы получим распределение
Больцмана:
- вероятность того, что молекула идеального
газа имеет энергию
,
т.е. находиться в
-ом
состоянии. Это дискретное распределение,
но его можно сделать непрерывным.
В данном распределении остается скрытой предпосылка осуществления этого распределения – различимости частиц. Эта предпосылка с физической точки зрения ошибочна, потому что в природе нет различимых частиц, и все реально существующие частицы описываются либо распределением Ферми-Дирака, либо распределением Бозе-Эйнштейна. Однако в наиболее часто встречающихся ситуациях классической физики распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна практически совпадают с распределением Максвелла-Больцмана, которое благодаря этому является основным распределением классической статистической физики.
§4 Распределение Максвелла.
Полная энергия системы равна сумме ее потенциальной и кинетической энергий.
Рассмотрим распределение Больцмана, в котором энергия системы представлена в виде суммы двух слагаемых. По свойству потенциальной функции, выражение можно разложить на произведение двух сомножителей, каждый из которых является функцией определенного вида энергии:
В таком виде выражение называется функцией распределения Максвелла-Больцмана. Сомножитель, зависящий от кинетической энергии, называется функцией Максвелла, а сомножитель, зависящий от потенциальной энергии – функцией Больцмана.
Найдем
вероятность того, что молекула имеет
скорость в интервале
.
Плотность вероятности этого – функция распределения Максвелла.
Определим
константу
из условия нормировки:
,
так как компоненты скорости независимы,
то
.
Обозначим константу
,
,
тогда после замены мы получим табличный
интеграл:
,
значение интеграла
,
отсюда получим
,
следовательно:
.
Таким
образом
- плотность вероятности молекул иметь
скорость в интервале от
,
распределение молекул по проекциям
координат.
Теперь
найдем вероятность того, что молекулы
имеют скорость в интервале
по абсолютному значению (по модулю). Для
этого перейдем от распределения проекций
скоростей к распределению по модулю
скорости. Удобнее переход сделать в
системе сферических координат.
Оператор Лапласа дает коэффициент перехода от декартовой системы координат к сферической:
,
Нас интересуют только абсолютные значения, поэтому:
,
с учетом вычисленных интегралов:
,
отсюда плотность вероятности:
Зная плотность распределения молекул по абсолютному значению скорости, мы можем рассчитать три характеристические скорости движения молекул идеального газа.
Средняя арифметическая скорость:
выделим
для замены переменной
сделаем
замену переменной
и
учтем, значение табличного интеграла:
,
,
получим после сокращения констант:
,
где
- постоянная Больцмана,
- масса молекулы, преобразуем, умножив
числитель и знаменатель дроби на число
Авогадро:
,
где
- молярная масса компоненты системы.
Результат:
- средняя
арифметическая скорость движения
молекул идеального газа.
Средняя квадратичная скорость:
,
сделаем замену переменной:
,
тогда
,
,
отсюда
,
,
разделим переменные и найдем связь
между
и
,
подставим полученное значение в
дифференциал:
, 
.
Подставим все в интеграл:
преобразуем,
,
учтем значение табличного интеграла:
,
таким образом
-
средняя
квадратичная скорость.
Наиболее вероятная скорость:
Наиболее вероятная скорость – это скорость, соответствующая максимуму кривой распределения молекул по скоростям, т.е. должно выполнятся условие:
обозначим
константу
и найдем производную произведения
так
как величина
,
то должно выполняться условие:
, 
, 
-
скорость
наиболее вероятная.
П
ри
комнатной температуре средняя
арифметическая скорость движения
молекул:
,
а характеристические скорости водорода
в 4 раза больше.
Как посчитать число молекул, скорости которых лежат в заданном диапазоне?
Если
- число молекул в единице объема, то
- число молекул, скорости которых
распределены в интервале от
до
равно:
,
если учесть что
,
и введя переменные
,
,
,
то
-
такой вид более нагляден, для анализа
формы кривой распределения Максвелла.
В книгах имеются таблицы интеграла:
с их помощью упрощаются вычисления
величины
.
Из таблиц в частности находим, что:
Т.о. большая часть молекул имеет скорости в сравнительно небольшом интервале около наиболее вероятной, а молекул со скоростями вне этого интервала сравнительно мало.
Для
экспериментальной проверки было
проделано много опытов. Самый известный
– опыт Штерна (1920). На оси двух коаксиальных
цилиндров (
и
)
расположена платиновая нить, покрытая
слоем
.
Нить нагревали током, серебро испарялось,
и его атомы хаотично вылетали по всем
радиальным направлениям. При этом они
имели и различные скорости движения.
Воздух внутри цилиндров откачивался,
чтобы столкновения молекул серебра с
молекулами воздуха не искажали картину.
Атомы серебра равномерно покрывали
поверхность внешнего цилиндра, что
указывало на равновероятность всех
направлений их скорости. Затем во
внутреннем цилиндре - узкая щель,
диафрагмирующая пучок атомов по
направлению (скорости любые по величине).
Внешний цилиндр приводили во вращение
(
)
об/мин.
В зависимости от скорости атомы попадают на разные участки поверхности вращающегося цилиндра, согласно формуле на участок АВ:
.
Чем
больше атомов осаждается на стенке, тем
толще пленка. Измеряя толщину пленки,
можем определить число атомов, обладающих
скоростью, лежащей в некотором диапазоне,
т.е. построить диаграмму, которая при
сглаживании схожа с кривой распределения
Максвелла
.