Вопрос 11. Форма земной поверхности и её аппроксимация. Национальные референц-эллипсоиды и абсолютные.

Поверхность Земли представляет собой уникальную геометрическую

фигуру, называемую геоидом. Геоид строится следующим образом. На

пространствах Мирового океана он совмещается с многолетним средним

уровнем его водной поверхности (уровень моря). Эта поверхность путем

геодезического нивелирования продолжается по суше таким образом, чтобы

отвесная линия, опущенная с земной поверхности на геоид, была бы нормалью

к этой поверхности. Длина полученной нормали является высотой HМ точки

земной поверхности над уровнем моря. Таким образом построенная форма

геоида зависит не только от физической формы поверхности Земли, но и от

конфигурации гравитационного поля Земли.

Ясно, что указанные построения практически могут быть проведены в

ограниченном числе точек земной поверхности. На территории СССР такие

построения были проведены в 164000 триангуляционных пунктах (центрах) I

класса, которые образовали базовую национальную геодезическую сеть – Госу-

дарственную геодезическую сеть (ГГС).

Для различных топографо-геодезических и теоретических построений

необходимо, на основе базовой геодезической сети, построить аналитическую

поверхность, наиболее близкую к соответствующей системе точек геоида.

Ближайшей аналитической аппроксимацией геоида является эллипсоид: повер-

хность, образованная вращением эллипса вокруг его малой оси. Расстояние

между точкой геоида и аппроксимирующим его эллипсоидом (референц-

эллипсоидом) называется аномалией высоты соответствующей точки земной

поверхности, а сумма аномалии высоты и величины HМ является геодезической

высотой H этой точки. На топографических картах местности обычно, в виде

горизонталей, то есть линий, соединяющих точки земной поверхности с одина-

ковой высотой, приводятся данные о высоте HМ точек земной поверхности над

уровнем моря.

На основе ГГС и многочисленных данных астрономо-геодезических и

гравитационных измерений в 1940 г. были получены параметры советского

референц-эллипсоида (Красовского).

Поскольку земной эллипсоид мало отличается от сферы, его называют

также сфероидом. Более грубое представление геоида – сфера. Радиус земной

сферы, которая заключает объем, равный объему референц-эллипсоида Красов-

ского, составляет Rо = 6371 км. Для большинства практических целей доста-

точна аппроксимация геоида сфероидом. Рассмотрим основные системы коор-

динат, используемые в геодезии и картографии.

Пусть мы привязали трехмерную декартову систему координат (X, Y, Z) к

полюсам РР', к экватору О'О'' и к нулевому меридиану L = 0 (рис.4.1). Система

координат (X, Y, Z) называется прямоугольной пространственной геоцент-

рической.

Пусть точка Q находится над земным сфероидом где-то на нулевом мери-

диане (см. рис.4.1), а Q' – ее проекция на земной сфероид (по нормали к каса-

тельной плоскости Q'S). Угол Ф = О'ОQ называется геоцентрической широтой

точки Q. Координаты (Ф, L, ρ) называются полярными геоцентрическими коор-

динатами точки Q.

Система (X, Y, Z) используется в спутниковой радионавигации. Коор-

динаты (X, Y, Z) и (Ф, L, ρ) достаточно просто связаны между собой:

ρ 2 = X 2 + Y 2 + Z 2 ; sin Φ = Z / ρ ; tg L = Y / X .

Поэтому система координат (Ф, L, ρ) является вспомогательной и приме-

няется довольно редко.

Астрономические наблюдения позволяют с очень высокой точностью

определить угол ϕ между отвесной линией и плоскостью земного экватора, а

также угол λ между местным и гринвичским меридианами. Совокупность угло-

вых координат (ϕ, λ) образует астрономическую систему координат, которая

привязана к геоиду.

При геодезической съемке местности оперируют другими координатами:

пространственными (полными) геодезическими координатами (B,L,H).

Если референц-эллипсоид привязан к системе координат (X, Y, Z), то

нормаль, опущенная к нему из точки Q, пересечет линию полюсов РР′ точке n,

не совпадающей с началом координат O (см. рис.4.1.а и 4.1.б). Угол B между

нормалью Qn к референц-эллипсоиду и плоскостью экватора О'GО" называется

геодезической широтой, а расстояние H от точки Q до ее проекции Q' на

референц-эллипсоид называется геодезической высотой точки Q. Линия пересе-

чения референц-эллипсоида с плоскостью, проведенной через прямую Qn

перпендикулярно плоскости меридиана PQ', называется первым вертикалом

(E'Q'E на рис.4.1.а). Длина N отрезка nQ' называется радиусом кривизны

первого вертикала. Меридиан PQ'Р' в точке Q' имеет радиус кривизны М.

Двумерная система координат (B, L) называется географической. Отличия

географических (B, L) и астрономических (ϕ, λ) координат точек земной

поверхности составляют 1"-2".

В формулах сфероидической геометрии фигурируют следующие

основные величины:

а – большая полуось сфероида;

b – малая полуось сфероида;

α = (a – b)/a – полярное сжатие;

e = √ a – b /a – первый эксцентриситет;

e′ = √ a2 – b2 /b – второй эксцентриситет;

и следующие основные функции:

V 2 = 1 + (e′ )2 cos 2 B, W 2 = 1 – e2 sin 2 B,

η = e′ cos B; tg Ф = (1 - e2) tg B.

Через эти величины и функции достаточно просто выражаются многие

элементы сфероидической геометрии. Например, радиусы кривизны меридиана

(М = а (1 – e2)/W3) и первого вертикала (N = a/ W).

Связь между полными геодезическими и геоцентрическими координатами

выражаются формулами:

X = (N + H) cos B cos L,

Y = (N + H) cos B sin L,

Z = (N + H) sin B – e2 N sin B.

Таким образом, в результате трудоемких многодесятилетних топографо-

геодезических работ, проведенных в разных странах мира, точки земной повер-

хности были спроектированы (редуцированы) на национальные референц-

эллипсоиды и получили геодезические координаты (B, L, H).

Всего во всем мире известно около 250 картографических систем коорди-

нат, которые до построения общего ("абсолютного") земного референц-эллип-

соида, параметры которого были определены в СССР и в США с помощью

спутниковых геодезических измерений в 1960-1980 гг., не были связаны между

собой. Как оказалось, координаты одной и той же точки земной поверхности

в разных национальных системах координат могут отличаться на сотни метров

(до 1500 м). Наиболее широко применяемыми являются три референц-эллип-

соида: американский Бесселя-Фишера (1922 г.), западноевропейский Хейфорда

(1924 г.) и советский Красовского (1942 г.).