21. Методика введения понятий функций.

1-6 кл. пропедевтика понятия Ф, где решаются упр. типа «изменение одной величины влечёт изменение той или другой» (зависимость от слагаемых, шкала, корд.луч, диаграммы).

7-9 кл. 1– Подготовительная работа (рассм. текстовые задачи прикладного характера, показывается целесообразность введения и изучения данной функции).

2– На основе математизации эмпирического материала формируется опр-ние и вводится соответствующая формула, проводятся иссл-ния входящих в эту формулу параметров.

3– Составляется таблица значений Ф., построение её графика по точкам.

4– Иссл-ние основных свойств Ф. (преимущественно по графику).

5– Рассмотрение задач и упражнений на применение основных свойств Ф.

В 7-9 кл. функции исследуются элементарными средствами, при этом использ. наглядно-геометрический метод. Аналитический метод носит ограниченный характер.

10-11 кл. 1– Подводящая задача. 2– Опр-ние функции. 3– Аналитическое исследование свойств функции. 4– График функции. 5– Задачи и упражнения на закрепление свойств функции.

Понятие Ф. в действующих шк. учебниках:

Теляковский, 7 кл.: Ф. – это зависимость у от х, где хХ, уУ, когда каждому зн-нию х соответствует единственное зн-ние у. Говорят, что у есть функция от х.

Шнеперман, 7 кл.: понятие Ф. не вво дится.

Солтан: рассм. выражение (*),кот. обозн. ч/з у. Формула задает правило вычисления зн-ний выражения (*)в зав-сти от зн-ний переменной х, а затем дается опр-ние как у Теляковского. Приводит примеры на бытовом уровне.

Методические недостатки, связанные с введением понятия функции

1. При введении понятия Ф. в 7 кл. не рассматриваются примеры функций, не являющихся числовыми. Поэтому для учащихся представляется бессмысленной фраза, вводимая в 10 кл, «с понятием Ф. вы познакомились в курсе алгебры 7 кл.» При изучении начал анализа удобно применять след. опр-ние: «числовой Ф. с обл.опр. D наз. соответствие, при кот. каждому числу x из D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от х». Кроме того, вводится непонятный термин соответствия, кот. требует пояснения, но авторы этого не делают.

2. В 10 кл. понятие числовой Ф. вводится после введения опр-ния тригон. ф-ции, хотя в последних используется термин «числовая функция» - нет логики. 3. При введении понятия Ф. в 7 кл. не рассматриваются контрпримеры (не рассматривается зависимости, которые не явл. функциями). 4. В опр-нии ф-ции фигурируют конкретные буквы x и y, что не способствует обобщённому представлению учащихся об этом понятии.

5. Вместе с тем, в 10 кл после введения опр-ния числовой Ф., вводится как необязательное новое опр-ние через отображения. Хотя при этом не говорится, что слова «функция» и «отображение» синонимы. Т.е. получается нагромождение терминов, что не является доступным для понимания ученикам.

22. ?

23. Методика введения тригонометрических функций.

Школьная теория триг-х ф-й строится на наглядно-геометрическом основании и её нельзя считать строгой. Строгую форму строят на основании приделов и диф-х ур-й.

1. Впервые c sinα, cosα, tgα, ctgα уч-ся встречаются в курсе геометрии в 8(9) кл., причем для углов от 00 до 900, а затем от 00 до 1800. Случай определения этих терминов для произвольного угла рассматривается в 9 кл. 11-летки (в 10кл. 12-летки). Этот раздел состоит из 3 больших тем: тригон-кие ф-ции любого угла; основные триг-кие формулы; формулы сложения и их следствия.

2. Вводится понятие угла-поворота, где исп-ся окр-ть, затем вводиться определение sinα, cosα, tgα, ctgα как значения «будущих тригонометрических функций». Например, синусомα наз. отношение ординаты точки, принадлежащей окружности, к радиусу окружности – y/R и т.д.

3. В некоторых пособиях после этого док-ся, что sinα, cosα, tgα, ctgα, не зависит от радиуса и целесообразно рассмотрение проводить с единичной окр-тью.

4. Контекстуально вводится определение триг-х ф-ций, напр.: «Если каждому значению α поставить в соответствие его синус, то получим функцию sin, областью определения которой является множество углов»

« Вычисляются табличные значения sinα, cosα, tgα, сtgα, а также как ≈ вычислять значения триг-х ф-ций любых углов с помощью калькулятора.

5. Рассматриваются свойства триг-х ф-ций – знаки, чётность, периодичность.

6. Вводится определение радиана, радианная мера угла. При закреплении использовать микрокалькулятор.

7. Рассм-ся тема «Основные триг-е формулы»: sin²α+cos²α=1; 1+tg² α=1/ cos² α; 1+сtg² α=1/sin² α; tg α·ctgα=1; формулы приведения: углов (π/2 ± α), (π ± α), (3π/2 ± α), (2π ± α ).

8. Далее «Триг. формулы сложения и их следствия»:

   • ф-лы сложения – ,

   • преобразования суммы в произведение – и т.д.

   • в углубл. классах изучаются ф-лы преобразований произведений триг-х ф-ций в сумму(разность) и ф-лы, выражающие значение триг-х ф-ций через tg половинного аргумента (угла).

В каждом учебнике имеются свои методические особенности вывода формул и их следствий.

12)))Общей схемой исследования функций на примере исследования тригонометрической функции. (14 свойств – область определения, значений, четность, наименьший положительный период, к-ты точек пересечения графика с осью Ох, Оy, промежутки, на которых f принимает “+” и “-” значения, промежутки возрастания/ убывания, точки минимума/ максимума, минимумы/ максимумы ф-ции)

Пример: Как д-ть, что наименьший положительный период для sin явл. 2π?

Пусть Т – произвольный положительный период синуса. Тогда sin(a+T)=sina при любом a. Полагая, что а= π/2, находим sin(T+ π/2)=sin π/2=1. Но sinx=1 только при x= π/2+2 πn. Поэтому Т=2 πn. Наименьшее положительное число вида 2 πn есть 2 π.

24. ?

25. см.24 н

26. ?

27. распечатка

28. ?

29. ?

30. ?

31. см 9

32. ?

В шестом классе в третьей четверти ученики знакомятся впервые либо закрепляют имеющиеся знания о степени с натуральным показателем, знакомятся с умножением и делением степеней с натуральным показателем.

Они должны знать определение степени с натуральным показателем. Уметь представлять степень произведением равных множителей и произведение равных множителей степенью. Уметь распознавать степень среди выражений. Уметь определять знак степени по знаку ее основания. Уметь находить значения несложных выражений с действиями разных степеней.

В четвёртой четверти шестиклассники знакомятся со степенью с целым показателем.

Они должны знать определение степени с целым показателем, уметь степень с целым отрицательным показателем представлять дробью и, наоборот, дробь представлять степенью.

Ученики уже знают определение степени с целым неотрицательным показателем. Перед началом объяснения нового материала вспоминается это определение, а также первая и нулевая степень числа.