20. Методика изучения понятий числового неравенства, свойств числовых неравенств, неравенств с переменной и их свойств.

Неравенства также изучаются в несколько этапов.

1. В начальной школе (на уровне интуиции)

2. в 6-7 кл – числовые неравенства и их свойства (строго)

3. в 7-9 кл – линейные неравенства с одной переменной и их системы

- квадратичные неравенства, их решение и графическая иллюстрация

- понятие равносильности неравенства

- рациональные неравенства и их решение методом интервалов

4. в 10 кл как необязательный материал проходят тригонометрич. нер-ва; метод интервалов (на основе непрерывности функции).

5. в 11кл рассматрив-ся показат.и логарифмич.нер-ва, и как необязательный материал иррац-ые нер-ва.

Опр. числового нер-ва: «Говорят, что число а больше числа b, если разность а-b число положит-ое, и записывают a>b, где значок > значит «больше»(аналогично для меньше). Выражение a>b наз. Нер-ом. (геометрически a>b объясняется: если число а на координат. прямой изображается точкой, расположенной правее точки, соотв. Числу b). Св-ва числовых нер-в(составляют ту базу, на основании которой строятся решения линейных нер-в, оценка значений выражений.):

Виды нер-в: лин-ые нер-ва с одной переменной, квадратные, дробно-рацион., лин. с двумя переменными.

Впервые знакомство с нер-ми учащиеся проводят с линейными, в связи с чем вводится понятие числовых промежутков. (Это основа решения задач с параметрами.)

Нер-во вида ax+b>0, где a,b – числа, x – переменная, называется линейным.

Нер-во вида ax²+bx+c>0, где a,b,c – числа, a<>0, x – переменная, наз. квадратным.

Далее изучают рациональные (дробно-рациональные неравенства).

Функция вида f(x)=p(x), где p(x) – многочлен, наз. Рациональной ( f(x)=p(x)/q(x), где p(x) и q(x) многочлены – дробно-рац.) Дробно-рац ф-ция определена, если q(x) не обращается в нуль. Соотв-но, p(x)>0, p(x)/q(x)>0 – рац. и дробно-рац неравенства. Решаются методом интервалов, который основывается на данном этапе на идеи перемены знака бинома х-а при переходе через точку а.

В 10 кл метод интервалов основывается на св-ве непрерывной функ-и (если на интервале (a;b) ф-я f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак). Рассматривается соотв. Теорема: пусть на интервале I ф-я f непрерывна и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала, то интервал разбивается на интервалы, в каждом их которых ф-ция сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение ф-ции в к-л одной точке из каждого интервала.

Показат-ые нер-ва (a^x<b) и логарифмич. нер-ва (log_ax<b) обычно решаются путём приведения всех выражений, содержащих логарифмич. и показат. функции, к одному основанию и последующей заменой неизвестной, сводящей задачу к решению алгебраич. нер-ва.

Иррациональные нер-ва – нер-ва, в которых пременная содержится под знаком корня (радикала). Важно запомнить √f(x) <g(x); f(x)>=0; g(x)>0; f(x)<g²(x).