14. см 16

15. см 16

16. Методика изучения рациональных чисел (в т.Ч. Положительных и отрицательных) и действительных чисел.

Первое знакомство с дробями осуществляется в начал. школе. Системное изучение дробей начинается с 5 кл., в том числе десятичных.

Десятичные дроби представляют лишь другую запись ранее изветн. обыкновенных дробей со знаменателем 10ⁿ, n . Десятичные дроби явл. более удобными в матем-их вычислениях и практических расчетах.

В школьной математике существует проблема порядка изучения обыкновенных и десятичных дробей. Однако в действующих учебниках по математике 5 кл. придерживаются смешанного варианта изучения дробей. Вначале вводится понятие обыкновенной дроби, затем рассматриваются вопросы сложения, вычитания, сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. После этого осуществляется переход к десятичным дробям, и рассматриваются все 4 – ри действия над ними, далее в 6 кл. вновь возвращаются к обыкновенным дробям, попутно изучают понятие проценты.

В основном в учебных пособиях (4 - 5кл) методическая схема введения обыкновенных дробей такова:

1. выполняют деление конкретного предмета на несколько равных частей (на 4); 2) вводят терминологию: 1/4, 2/4 и т.д. 3) вводят запись: 1/4; 2/4 4) вводят термины: обыкновенная дробь, знаменатель, числитель дроби; 5) приводят примеры других дробей.

Метод содержательного обобщения.

Важным элементом в методике должно явл. убеждение учащихся в целесообразности введения новых чисел, т.е. дробей:1) возможность записывать доли от целого; 2) с помощью дробей операция деления чисел всегда выполнима; 3) “польза” дробных чисел видна и в связи с задачей измерения величин.

При изучении дробей используются те же законы, которые вводились при изучении натуральных чисел (сочет., распредел., премест.).

Методика изучения положительных и отрицательных чисел.

Первая методическая задача возникающая при введении отрицат. чисел состоит в том, чтобы убедить учащихся в необходимости введения этих чисел. В разных учебных пособиях это делается по – разному. Вначале знакомят учащихся с понятием направление, для этого приводят примеры с железной дорогой (Латотин). Затем понятие направления связывают с координатной прямой. Например, возьмем вместо железн. пути прямую, вместо ж/д станции некоторую фиксир. точку прямой, вместо тепловоза – некоторую произвольную точку прямой. Учащиеся будут подготовлены к восприятию понятия – координат. прямая, останется ввести термины: начало отсчета, положит. и отриц. направления прямой и заключить: числа на отрицательном направлении прямой счит. отрицательными и обознач: -1, -1/4 , а на положит. направлении прямой – положит. : +1, +2, или 1, 2 .

Важно чтобы учащиеся осознали, не только необход. введения новых чисел, но и правильно соотносили их с реальной действительностью.Пример: приведенные ниже предложения записать короче, используя знаки “+” и “-“: 1) температура в полночь была 4 ниже нуля, а в полдень – 10 выше нуля; 2) стрелка прибора отклонилась от нулевой отметки на 4,5 деления вправо, на 2,5 деления влево.

Действия над положит. и отрицат. числами по учебнику “Лат. и Чебот.” изучается по координ. прямой: ведя сложения по координ. прямой делают вывод: чтобы к числу а + число в необходимо от точки с координатой а пройти единиц вправо если число в – положительное, и влево – если число в – отрицательное. На основании рассмотрения примера вводится правило сложения двух отрицат. чисел, а затем и чисел с разными знаками. Завершается эта методика закономи сложения – переместительного, сочетательного и действиями с нулем.

Методика изучения вычитания чисел (по координ. прямой): вычитание числа можно заменить + противополож. числа: а – в =а + (-в). Эта формула обосновывается с использ-ем определения разности 2 чисел. Умножение и деление изучаются у Латотина - на основе рассмотрения конкретных задач.

Изучение рациональных чисел в теоретич. плане завершается часто в 8 кл. в пунктах под названием “рацион. числа”, где вводится определение: “всякое рациональное число как целое так дробное можно записать в виде дроби m:n, где m – целое, n – натур.”. В параграфе рассматривается вопрос о представлении рационального числа в виде бесконечной дроби. Формулир-ся правило: каждое рациональное число может быть записано в виде конечной периодической десятичной дроби. Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь явл. некоторым рациональным числом. Вводится обозначение: N,Z,Q.

Методика введения действительных чисел.(осуществляется как правило в 8 кл.)

Имеются попытки строгого построения теории действительных чисел для учащихся классов с углубленным изучением математики. Вместе с тем понятие действительного числа как бесконечн. десят. дроби доступны учащимся подросткового возраста.

В настоящее время учащиеся знакомятся с понятием иррацион. и далее действ. числа в 8 кл. Мотивировка введения иррац. чисел опирается, прежде всего, на выявление внутр. потребностей мат-и (школьной).Потребности обнаруживаются при решении след. задач:1) каковы корни уравнения: х²-2=0; 2) каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1; 3) чему равна сторона квадрата, если его площадь равна 3; 4) каждой точке координатной прямой соответст. рацион. число.

Важно чтобы у учащихся не сложилось представление об иррацион. числах только как о квадратных корнях. Привести примеры иррацион. чисел в виде бесконечных непериодич. дробей. Нужно показать, что все период. бесконесные дроби явл. рацион. числами и наоборот. Множество иррацион. чисел явл. более мощным, чем множество рацион. чисел.

В большинстве учебников иррацион. число определ. как бесконечная непериод. десят. дробь. При этом возникает следующий вопрос: можно ли бесконечные десятичные непериод. дроби складывать, умножать, делить точно также как это делается с конечными десятичными дробями. Нет, поскольку при сложении конечных дробей выполнение этого действия осуществляется с конца (а у бесконечных конца нет). Возникает учебная проблема: что же следует понимать под суммой двух бесконечных непериодич. дробей. Разъяснить смысл арифметических действий — сделать геометрически. Пусть требуется показать, что существует сумма . Можно построить два отрезка длины, которых равны (как гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников), затем последовательно отложить эти отрезки на одной прямой. В результате получается новый отрезок, длина которого . Такая сумма существует в соответствии с аксиомами геометрии.

Если нужно показать произведение , то можно изобразить прямоугольник со сторонами . Площадь этого прямоугольника равна: , причем эта площадь существует в соответствии с аксиомами площадей.

Далее вводится определение действительных чисел как объединение множества рациональных и иррациональных чисел. По действующей программе операции над действительными числами в шк. не определяются на общеобразоват. и профильных уровнях. На углубленном уровне это предусмотрено.

17. ?

Различают следующие виды текстовых задач:

Задачи на числовые зависимости

Задачи на проценты

Задачи на совместную работу

Задачи на сплавы и смеси

Задачи на движение

Задачи на числовые зависимости решаются составлением уравнения в 6,7 классах. Например: двузначное натуральное число оканчивается цифрой 3, если сумму его цифр умножить на 4, то получится число записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. Различают такие задачи на проценты:

• Нахождение процента от данного числа

• Нахождение числа по его проценту

• Нахождение процентного соотношения двух чисел

В процессе решения различают следующие этапы: