37. см 37

38. см 12

39. Проблемы изучения первых разделов систематического курса планиметрии.

Пропедевтика геометрии в начальной школе должна быть направлена на развитие логического мышления детей, а так же способствовать: -накоплению запаса представлений о геометрических фигурах, развитию пространственных представлений, -формированию умений анализировать, сравнивать, обобщать; -развитию практических умений: чертить и измерять;- подготовке детей к дальнейшему изучению геометрии.

Круг формируемых у детей представлений о различных геометрических фигурах и некоторых их свойствах расширяется постепенно. Это - точка, линии (кривая, прямая, отрезок, ломаная), многоугольники различных видов и их элементы, круг, окружность и другие. При формировании представлений о фигурах большое значение придается проведению практических упражнений, связанных с построением, вычерчиванием и преобразованием одних фигур в другие, с рассмотрением некоторых свойств изучаемых фигур. Работа с геометрическим материалом по возможности увязывается и с изучением арифметических вопросов (например: геометрические фигуры используются в качестве объектов счета предметов). После ознакомления с измерением длины отрезка решаются задачи на нахождение суммы и разности двух отрезков, длины ломаной, периметра многоугольника и в том числе прямоугольника (квадрата), а в дальнейшем и площади прямоугольника (квадрата).Различные геометрические фигуры ( отрезки, многоугольники, круг) используются и в качестве наглядной основы при формировании представлений о долях величины, а также при решении разного рода текстовых задач (схематические чертежи). Масштаб (масштаб - это отношение длины линии на чертеже к длине соответствующей линии в натуре). Для детей знакомство с масштабом выступает , как формирование умения изображать предметы не в натуральную величину, а больше или меньше ее. Необходимо, чтобы дети получили представление о том, для чего нужен масштаб, где с ним встречаются в жизни.

О введении первых понятий в планиметрии

Некоторые особенности определений:

1. отрезок определяется так, что концы ему не принадлежат (у Колмогорова, Солтона - принадлежат)

2. полупрямая опред так, что нач. т. ей не принадлежит

3. в то же время по опред вершины треугольника, как фигуры состоящей из 3-х отрезков, ему принадлежат

4. одним из центр понятий всего курса геометрии явл понятие равных треуг.(в ост учебн равенство треуг. определ через наложение). У Погорелова: «треуг АВС и А₁В₁С₁ наз равными, если у них соответсв углы и сторны равны» - речь не идет о к-л двух треуг, а о треуг, ежду кот установлено соответствие. По этой причине рав-во треуг АВС и В₁А₁С₁ может оказаться и не верным

Одна из целей включения аксиом в шк курс геометрии- создают базу для построения док-в. Удачно подобранная с-ма акс призвана обеспечить рациональное, простое построение курса геом. В качестве акс выбираются уже известные из пропедевтики факты, близкие к наглядным представлениям уч-ся из их жизнен опыта. При этом новым явл не столько содержание аксиом, а предельно точный математический язык, на кот они форм-ся. Др сл, приведение акс в начале курса означает систематизацию ранее известн знаний и жополнение их новыми формально-логического хар-ра.

В уч Погорелова принят по существу формальный стиль введения акс – приводятся акс принадлежности, порядка, измерения отр и углов, существование треуг, Но тщательное соблюдение акс порядка док-ва теорем сильно осложняет само док-во, обостряет проблему доступности изложения. В указан уч слова аксиома, теорема, док-во в начале не употребл, а вместо них гов-ся основное св-во, св-во, объяснение. Строгие термины вводятся и разъясн в конце §1, лишь после того. Как уч-ся преобретут некот опыт применения акс в док-вах.

Но в др уч, напр, Атоносяна, не делается такого формального введения. Аксиоы формулир без внешнего подчеркивания форм-логич аспекта, не нумеруются, не делается ссылок на акс и при док-ве первых теорем, появл лишь после введ признаков рав-ва треуг, т о док-ва делают уч-ся более раскованными в рассуждениях, практически это более выгодно. Уч Атоносяна позволяет восстановить строгий дедуктивный стиль, в конце уч приводятся все аксиомы.

Установление цепочек равных треуг – широко используемый приём док-ва различн геом утв-ний, именуемый как метод равных треуг. (поэтому к 1-ым разделам отн раздел признаки рав-ва треуг). Гл цель изуч раздела – добиться активного владения разделом, обратив особое внимание на отработку умений использ рав-ва треуг при реш задач.

Для уч Атонасяна, Солтона, Латотина, Киселева хар-но введение последовательности осуществл наложения одного из дан треуг на другой, док-во совмещения их при т. наложении. В уч Погорелова док. путём использ акс существования треуг, равного данному, а именно: каков бы ни был треуг, сущ равный ему в заданном расположение относительно дан полупр. Кроме того, исп понятие совпадения, о кот ранее при введ определения равных треуг ничего не гов, т е в пр-се док-ва неявно подразумевается, что если треуг совпадают, то они равны , а точнее, это один и тот же треуг (нарушение дидактич принципа систематизации и послед-сти, принципа доступности). Чт избежать данных проблем следует перед док-вом первого признака рав-ва треуг необходимо оговорить с уч о понятиях ризнак, совпадение фигур, сообщить идею и план док-ва.

Идея док-ва: Рассм третий треуг А₁В₂С₂, кот равен треуг АВС, расположен так, что его вершина А₂ совпадает с вершиной А₁, сторона А₂В₂ лежит на полупр А₁В₁, вершина С₂ нах-ся в той же полупл относительно пр А₁В₁, что и вершина С₁. Теорема будет док-на, сли установим, что треуг А₁В₂С₂ совпадает с А₁В₁С₁

План док-ва:

1. рассм треуг А₁В₂С₂ 2. док-жем, что В₂ совпадает с В₁ 3. док., что луч А₂С₂ совпад с А₁С₁ 4. док., что вершина С₂ совпад с С₁ 5. закл., треуг АВС равен треуг А₁В₁С₁

После излож док-ва целесообразно привести его закрепление. Напр, задав вопросы:

Как был выбран треуг А₁В₂С₂? Почему вершина В₂ совпадает с В₁? Зачем нужно док-ть совпадение лучей А₂С₂ с А₁С₁. Аналогичная схема х-на и для 2-го признака, док-во 3-го проводится с учётом предварительного изуч св-в равнобедрен треуг.