2.2. Основные уравнения классической механики

Дифференциальное уравнение движения материальной точки – уравнение, определяющее связь между ускорением движения точки и вызвавшей это ускорение силой:

Канонические уравнения движения Гамильтона (для системы с s степенями свободы):

Эти уравнения выражают классический принцип причинности. Зная начальное состояние системы и проинтегрировав ее уравнения, можно определить состояние системы в произвольный момент.

2.3. Основные законы механики

Законы Ньютона:

1-й закон Ньютона (закон инерции): Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния. Всякое механическое движение относительно: его характер зависит от выбора системы отсчета (покой, равномерное прямолинейное движение, движение с ускорением). Поэтому закон инерции справедлив не во всякой системе отсчета.

2-й закон Ньютона:

Первая производная по времени от импульса (количества движения) материальной точки равна действующей на нее силе:

Элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу действующей на нее силы (вектор – элементарный импульс силы F_i за время dt);

Ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе, обратно пропорционально массе точки и совпадает по направлению с силой:

(дифференциальное уравнение движения материальной точки).

3-й закон Ньютона: Действие двух материальных точек одна на другую численно равно и направлено в противоположные стороны:

( )

Основной закон динамики поступательного движения:

Производная по времени от количества движения К материальной точки (системы точек) относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному вектору F всех внешних сил, приложенных к системе: или ,

где a_c – ускорение центра инерции системы, а m – ее масса.

Закон всемирного тяготения: Между двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними:

,

где f – гравитационная постоянная.

Законы сохранения - интегралы движения (связаны с симметрией – инвариантностью законов относительно некоторой группы преобразований входящих в них величин. Согласно теоремы Нётер наличие симметрии обуславливает существование сохраняющейся величины, характеризующей систему:

Закон сохранения энергии консервативной системы (1-й интеграл движения системы) связан с однородностью времени, то есть с инвариантностью законов движения относительно изменения начала отсчета времени.

Закон сохранения вектора импульса (количества движения) системы связан с однородностью пространства, то есть с инвариантностью законов движения относительно пространственных сдвигов).

Закон сохранения вектора момента импульса связан также с однородностью пространства.

Любая изолированная система имеет семь интегралов движения (семь уравнений законов сохранения): одно уравнения сохранения энергии, три уравнения законов сохранения проекций на координатные оси вектора импульса, а также вектора момента импульса.

Интегралы движения аддитивны.

Механический принцип относительности: Равномерное и прямолинейное движение (относительно инерциальной системы отсчета) замкнутой системы не влияет на ход протекающих в ней процессов, то есть все инерциальные системы отсчета равноправны.