3.6. Общая схема аксиоматического метода:

• 1) Перечисляются исходные понятия, которые вводятся без определений;

• 2) На основе исходных понятий определяются новые необходимые понятия (определяются все основные понятия);

• 3) Формулируются исходные истинные предложения (аксиомы), принимаемые без доказательств - указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;

• 4) На основе понятий и аксиом (первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах), с помощью некоторой логической системы выводятся доказательства новые факты – теоремы.

3.7. Формальная логика

Известны два логических метода:

метод формальной и метод диалектической логики.

• Формальная логика (основоположник – Аристотель) – это изучение мысли со стороны ее структуры, формы (изучает формы рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания). Правильность рассуждения определяется его формой, структурой, а не содержанием.

• Простейшие категории формальной логики: понятие – фиксирует мысль о предмете, суждение – мысль, в которой что-то утверждается или отрицается, умозаключение – прием мышления, посредством которого из некоторого исходного знания получается выводное знание.

3.8. Набор методов и приемов формальной логики

Анализ – расчленение целого на части, синтез – соединение отдельных частей в целое, индукция – умозаключение, в основе которого лежит переход от частного (особенного) к общему, дедукция – от общего к частному (особенному), сравнение – выявление сходства или различия явлений и процессов, аналогия – перенос одного или ряда свойств с известного явления на неизвестное.

• Ни анализ, ни синтез, ни дедукция, ни индукция и т.д. не раскрывают внутреннее противоречие предмета в формальной логике, не отражают самодвижения, развитие его.

3.9. Основные законы формальной логики:

• закон тождества (каждая мысль должна иметь строго определенное устойчивое содержание);

• закон противоречия (две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятом в одном и том же времени, отношении и т.д., не могут быть истинными);

• закон исключения третьего (из двух отрицающих друг друга мыслей об одном и том же предмете, одно непременно истинно);

• закон достаточного основания (всякая истинная мысль должна обосновываться другими мыслями, истинность которых доказана ранее).

3.10. Противоречия формальной логики

В формальной логике противоречие, в котором тезис и антитезис имеют равную силу и в одинаковой степени покоятся на одних и тех же основаниях (антиномия), неразрешимо. Такое противоречие отрицает все законы формальной логики.

На ограниченность формальной логики указывают апории – утверждения, противоречащие опыту (например, апории Зенона: «Ахилл и черепаха», «стрела» и др.).

3.11. Теорема Гёделя

• На ограниченность формальной логики указывает теорема Гёделя о неполноте (для широкого класса формальных систем требование полноты несовместимо с требованием непротиворечивости): «в любой дедуктивной теории, покоящейся на некоторой системе аксиом, обязательно найдется предложение, доказать или опровергнуть истинность которого средствами данной теории нельзя».

• Для доказательства такого предложения необходима новая, более общая теория (другой набор аксиом). В ней снова будет недоказуемое предложение и т.д.