20. Метод сканирования и его достоинства.

Данный метод заключается в последовательном просмотре значений целевой функции в ряде точек, принадлежащих области изменения независимых переменных, и нахождении среди этих точек такой, в которой целевая функция имеет экстремум.

Точность метода, естественно, определяется тем, насколько густо располагаются выбранные точки в области поиска.

Основным достоинством метода сканирования является то, что при его использовании с достаточно "густым" расположением точек всегда гарантируется отыскание глобального экстремума. Однако, для этого в данном методе требуется значительный объем вычислений.

Mетод сканирования не связан с наличием локальных экстремумов в отличие от практически всех других методов нелинейного программирования. Поэтому его можно использовать для грубой оценки "областей притяжения" локальных экстремумов, после чего могут применяться методы градиентного поиска для точного определения координат каждого экстремума.

Наиболее простой алгоритм поиска экстремума методом сканирования ("поиск на сетке переменных") заключается в том, что по каждой независимой переменной задаются приращения в соответствующем порядке, обеспечивающем "заполнение" всей исследуемой области равномерной и достаточно густой сеткой. Так, например, для поиска экстремума функции двух переменных вначале при фиксированном значении UK2 рассчитываются значения R(Uj) при UK1 = UK-11 для всего диапазона изменения независимой переменной U1 и фиксируется значение экстремума. Затем вторая переменная изменяется на шаг DU2 .

UK2= UK-12U+DU2 и расчеты повторяются при варьировании переменной U1и т.д.

Для произвольного числа переменных шаг по следующей переменной производится после того, как полностью завершен цикл по предыдущей.

Объем вычислений при использовании метода сканирования можно оценить по следующей формуле: (5.59)

где D - точность определения экстремума

n - количество независимых переменных.

При n = 2 и D = 10-3 количество вычислений S = 10-6, а при том же значении точности D, но при n = 3 - S = 10-9 . Поэтому метод сканирования эффективно используется при числе переменных не более трех.

Существуют различные модификации метода сканирования, применяемые в основном для сокращения объема вычислений. Рассмотрим одну из них сканирование с переменным шагом.

Вначале задается достаточно большой шаг (DU > e) и выполняется "грубый" поиск, который локализует область существования глобального экстремума (P) (рис.5.26).

Рис.5.26

После того, как область определена, производится поиск с меньшим шагом только в пределах найденной области (s). Можно организовать ряд таких процедур последовательного уточнения положения оптимума (s).

При использовании данного алгоритма объем вычислений существенно сокращается и может быть определен по следующей формуле: (5.60)

где r - число этапов уточнения поиска, на котором шаг уменьшался в К раз

n - число независимых переменных;

D - точность определения экстремума.

Начальный шаг сетки переменных в данном случае определяется формулой:Do=Kr W D (5.61)

При n = 2, D = 10 , r = 2, K = 10 и Do = 0,1 количество вычислений S=900.

При постоянном шаге сканирования для тех же условий требовалось 10 вычислений, т.е. объем вычислений сократился более, чем в 1000 раз. Еще более значительный выигрыш наблюдается при большем числе независимых переменных. Так, для тех же данных, но при n=3 число вычислений с переменным шагом сканирования составит S=17000, а для постоянного шага S=10 9.