Решение задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом нужно от геометрической постановки задачи перейти к ее векторному описанию. Затем, пользуясь свойствами векторов и операций над ними, найти некоторые векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

Рисунок 11.4.1

Пусть M и N – середины диагоналей трапеции ABCD (см. рис. 11.4.1). Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что  коллинеарен

Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то

Следовательно,

Но  коллинеарен вектору , поэтому  Тогда

то есть  коллинеарен  что и требовалось доказать.

Задача 2. Разделить данный отрезок AB в данном отношении m : n, то есть найти точку M AB, такую, что AM : MB = m : n.

Рисунок 11.4.2

Очевидно, что M AB делит отрезок AB в заданном отношении m : n тогда и только тогда, когда  Кроме того,

Отсюда

Подставляя в исходное соотношение, имеем

откуда находим

В частности, если M – середина отрезка AB, то m = n, и получим

Если точки A и B заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат  то, используя формулу, можно легко найти координаты точки M в той же системе координат. Векторное равенство равносильно числовым равенствам

где  и  – координаты концов отрезка AB, а x и y – координаты искомой точки M.

В частности, когда точка M является серединой отрезка AB, получаем

Векторные уравнения прямой

Положение прямой на плоскости может быть задано одним из следующих способов:

• прямая l проходит через точку  параллельно вектору

• прямая l проходит через точки  и

• прямая l проходит через точку  перпендикулярно вектору

• прямая l проходит через точку  и составляет с вектором  угол α (см. рис. 11.5.1).

Рисунок 11.5.1

Любой вектор  параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой. Любой вектор  перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором прямой. Если взять на прямой какие-либо две фиксированные точки  и  то вектор  в частности, будет направляющим вектором прямой

Пусть прямая l задана точкой  и направляющим вектором  (см. рис. 11.5.2). Пусть M – произвольная точка прямой.

Рисунок 11.5.2

Рисунок 11.5.3

Обозначим  и   радиус-векторы точек  и M соответственно. Вектор  параллелен прямой, и, следовательно, вектору  тогда и только тогда, когда M лежит на прямой. Так как  то

Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.

Если ввести систему координат  то уравнение можно записать в виде

где  и  – координаты точек  и M, а  – координаты вектора   Отсюда следует, что

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пусть  и   тогда из уравнений следует, что    и, окончательно, уравнение   которое называется каноническим уравнением прямой, с направляющим вектором

Если  то параметрическое уравнение примет вид

Это уравнение задает прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку   Каноническое уравнение прямой имеет вид   Аналогично, если  то прямая, задаваемая системой

проходит через точку  параллельно оси Ox. Ее каноническое уравнение имеет вид

Как было отмечено ранее, направляющим вектором прямой можно выбрать вектор  где  и  – произвольные две точки прямой. Тогда, подставив координаты вектора  в каноническое уравнение, получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через две точки  и  первая из которых лежит на оси Ox и имеет, следовательно, координаты  а вторая лежит на оси Oy и имеет координаты  Подставляя их в уравнение, получим

или

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Пусть  – некоторая точка прямой,  – вектор, перпендикулярный прямой, а  – произвольная точка этой прямой (см. рис. 11.5.3). Тогда M лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор  перпендикулярен вектору  а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов  и  равнялось нулю:  Введя радиус-векторы  и  точек  и M, это уравнение можно записать в виде  Это – нормальное векторное уравнение прямой, а  – нормальный вектор прямой. Если переписать его через координаты точек  M и вектор  в ортогональной декартовой системе координат, получим

Это уравнение прямой, проходящей через данную точку  перпендикулярно вектору  Обозначив  окончательно имеем

Ax + By + C = 0.

В § 11.4 было показано, что любая прямая может быть задана этим уравнением при условии  Назовем это уравнение общим уравнением прямой. Следовательно, для любой прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, можно считать, что вектор  перпендикулярен прямой, а вектор  параллелен ей. Действительно, так как  векторы  и  взаимно ортогональны, а поскольку  – нормальный вектор к прямой, то  параллелен ей. Тогда  – направляющий вектор прямой.

При рассмотрении векторно-параметрического уравнения прямой мы показали, как перейти к каноническому уравнению, из которого легко получить общее уравнение прямой. Аналогично, из нормального векторного уравнения так же легко перейти к общему уравнению прямой. Покажем теперь, как из общего уравнения прямой получить ее векторные уравнения.

Пусть прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0 в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда мы знаем, что вектор  – направляющий вектор прямой,  – ее нормальный вектор. Так как  предположим для определенности, что A ≠ 0. Тогда точка  принадлежит прямой. В этом легко убедиться, подставив координаты точки в уравнение прямой. Приведенных данных достаточно, чтобы получить векторные уравнения прямой. Действительно,

– векторно-параметрическое уравнение;

– векторное нормальное уравнение.