Векторы
Основные понятия и свойства
Вектором называется направленный отрезок. Если у отрезка AB его концы равноправны, то для вектора один из концов отрезка, например, A называется началом, а другой, то есть B, – концом. Обозначим вектор либо указанием концов отрезка, причем начало вектора ставится на первое место, либо строчной латинской буквой со стрелкой или чертой над буквами.
|
|
|
На
рис. 11.1.1 изображен обычный отрезок
AB, а на
рис. 11.1.2 – вектор
на
рис. 11.1.3 – вектор
Векторы
и
называются
одинаково направленными
или сонаправленными,
если лучи AB
и CD
одинаково направлены. Если лучи AB
и CD
противоположно направлены, векторы
и
называются
противоположно
направленными. Два
вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых.
|
Рисунок 11.1.4. Коллинеарные векторы |
Абсолютной
величиной (или модулем)
вектора называется длина отрезка,
изображающего вектор. Абсолютную
величину вектора
обозначим
Два
вектора называются равными,
если они одинаково направлены и равны
по абсолютной величине. На рис. 11.1.5
вектор
а
вектор
|
Рисунок 11.1.5. Равенство векторов |
Углом
между ненулевыми векторами
и
называется
угол BAC.
Углом между любыми двумя ненулевыми
векторами
и
называется
угол между равными им векторами с общим
началом. Угол между одинаково направленными
векторами равен нулю.
Нулевым
вектором 
называется вектор, у которого начало
совпадает с концом. Направление нулевого
вектора не определено, а его модуль
считается равным нулю. Вектор называется
единичным,
если его абсолютная величина равна
единице.
Замечание 11.1
Любую пару векторов, один из которых равен нулевому вектору будем считать коллинеарными.
Теорема 11.1.
Два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.
Доказательство
Пусть
данные векторы
и
сонаправлены
с вектором
сонаправлен
с
сонаправлен
с
Следовательно,
прямые CD
и MN
параллельны, и существует прямая
Так
как (AB) || (MN)
и (CD) || (MN),
то (AB) || (CD).
|
Докажем,
что
сонаправлен
с
Следовательно,
прямые AB
и MN –
параллельны, и существует такая прямая
l,
перпендикулярная им обеим, что лучи
AB и MN
лежат в одной полуплоскости от l.
такая
что лучи CD
и MN
лежат в одной полуплоскости.
и
тогда
по следствию 4.1
Тогда
из двух полуплоскостей, которые
образуются при разбиении плоскости
прямыми l1
и l и
содержат луч MN,
одна содержит другую. Пусть эта
полуплоскость ограничена прямой l
и содержит луч MN.
Тогда она содержит лучи MN,
AB и
CD.
Отсюда следует, что [AB)
и [CD)
лежат в одной полуплоскости от прямой
l и
лежат на параллельных прямых и,
следовательно, одинаково направлены.
Отсюда векторы
и
сонаправлены.
Теорема доказана.
Свойства равенства векторов:
каждый вектор равен самому себе;
если вектор равен вектору
то
равен
два вектора, равные третьему, равны.
Теорема 11.2.
Пусть
даны два вектора
и
не
лежащие на одной прямой. Соединим начала
A и C
и концы B
и D этих
векторов. Если четырехугольник ABDC
– параллелограмм, то
и
наоборот, если
то
четырехугольник ABDC
– параллелограмм.
Доказательство По
свойству параллелограмма AB = CD
и (AB)
параллельна (CD).
Кроме того, лучи AB
и CD
лежат по одну строну от прямой AC.
Поэтому
и
сонаправлены.
Значит,
|
Обратно:
пусть
и
прямые AB
и CD
не совпадают. Тогда эти прямые
параллельны. Кроме того,
Отсюда
по признаку
параллелограмма ABDC
– параллелограмм. Теорема доказана.
Теорема 11.3.
Если
то
Доказательство
Пусть даны равные векторы и Если они не лежат на одной прямой, то согласно теореме 11.2 ABCD – параллелограмм и Пусть
и
лежат
на одной прямой. Введем на этой прямой
координату x,
и пусть числа
Замечание.
Равенство |xB – xA| = |xD – xC|
означает равенство длин отрезков AB
и CD,
т. е. AB = CD;
совпадение знаков разностей
|
– координаты соответственно точек
A, B, C, D.
Тогда условие
означает,
что для этих координат выполнено
равенство
Отсюда
следует, что
,
а это означает, что
и
означает
сонаправленность векторов
и
Пусть
на плоскости Oxy
точка
–
начало вектора
а
точка
–
его конец.
Координатами
вектора
называются числа
Для
обозначения того, что вектор
имеет
координаты
и
используют
запись
Длина
отрезка
равна
и
равна по определению абсолютной величине
вектора
Радиус-вектором
точки
M (x; y)
плоскости Oxy
называется вектор с началом в точке
O (0, 0)
и концом в точке M (x; y).
Теорема 11.4.
Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты.
Доказательство
Пусть
и
–
равные векторы, где
Если
векторы
лежат
на одной прямой l,
рассмотрим прямую
|
–
концы отрезков AB
и CD.
Если
и
не
лежат на одной прямой, то из равенства
векторов следует, что четырехугольник
ABCD –
параллелограмм (см. теорему 11.2). Тогда
x2 – x1 = x4 – x3,
y2 – y1 = y4 – y3,
и теорема доказана.
и
вектор
на
ней, равный данным. Пусть
Так
как
и
равны
и лежат на параллельных прямых, из
предыдущего пункта
С другой стороны
и
аналогично
Сравнивая равенства, получаем требуемое
x2 – x1 = x4 – x3,
y2 – y1 = y4 – y3.
Теорема 11.5.
Если у двух векторов соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.
Доказательство
Пусть
|
и
–
два различных вектора, причем
и
Пусть
координаты
соответственно точек A,
B, C и
D. Тогда
Из
этих равенств следует, что
и
вектор
на
ней, равный
Пусть
–
координаты соответственно точек M
и N.
Тогда по теореме 11.4
Так как векторы
и
не
лежат на одной прямой, и их координаты
равны, то по доказанному в предыдущем
пункте
С
учетом того, что
по
выбору, по свойству 3 равенства векторов
два вектора
и
равные
третьему вектору
равны,
т. е.
Теорема
доказана.