1.3 Законы математической логики (законы булевой алгебры)
Закон отрицание отрицания (или исключенного третьего).
x |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Коммутативность (перестановочность):
x y = y x
x y = y x
Ассоциативность (сочетательность):
(x y) z = x (y z)
(x y) z = x (y z)
Дистрибутивность (распределительность):
(x y) z = (x z) (y z)
(x y) z = (x z) (y z)
Таблица истинности для 7:
x |
y |
z |
x y |
(x y) z |
x z |
y z |
(x z) (y z) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Законы де Моргана:
x
y
=
x y =
Законы поглощения:
x (x y) = x
x (x y) = x
Идемпотентность:
x x = x
x x = x
Свойства единицы и ноля:
x 1 = 1
x 1 = x
x 0 = x
x 0 = 0
x
=
1x = 0
Любой из этих законов можно доказать, составив таблицу истинности.
1.4 Построение таблицы истинности
Построим таблицу истинности для 4) закона ассоциативности – (x y) z = x (y z). Выписываем все переменные, которые входят в выражение. Затем от столбца к столбцу добавляем по одному действию так, чтобы в итогах получилась левая часть равенства, а затем делаем тоже самое делаем с правой частью. В первых трех столбцах выписываем все возможные значения переменных. Если переменных n, то строк - 2n. В нашем случае переменных 3, значит строк в таблице будет 8.
x |
y |
z |
x y |
(x y) z |
y z |
x (y z) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Как видно из таблицы левая часть выражения (5 столбец) и правая (7 столбец) при любых значениях переменных равны. Таблица истинности является одновременно проверкой и доказательством. Так как в таблице истинности перебираются все возможные значения переменных.
Более сложные логические выражения можно упростить, преобразовав их с помощью элементарных логических функций (используя законы булевой алгебры). Результат преобразования следует проверить по таблице истинности.