1. Постановка задачі
2. Метод Крамера
3. Звичайні Жорданові виключення
4. Метод Жордана-Гауса
5.Метод Гауса
6. Метод оберненої матриці
1. Постановка задачі. Розв`язування систем лінійних рівнянь являється однією із найважливіших задач, які часто зустрічаються як в прикладній математиці, так і в спеціальних загально інженерних дисциплінах.
2. Метод Крамера. Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
(1)
В загальному курсі вищої математики розглядається розв`язування системи (1) по методу Крамера (з допомогою визначників).
ПРИКЛАД: Розв`язати систему рівнянь
.
(2)
Якщо , то система або не має розв`язку, або має нескінчену множину розв`язків.
Система лінійних рівнянь n–го порядку в загальному випадку описується наступним виглядом:
(3)
Числа являються коефіцієнтами системи, причому перший індекс відповідає номеру і рівняння системи, а другий індекс j- номеру невідомого х , при якому стоїть цей коефіцієнт. Так, наприклад, а - коефіцієнт в третьому рівнянні системи (3) при невідомому х .
Систему (3) можна розв`язувати по правилу Крамера (2). Однак цей метод потребує дуже громіздких обчислень і тому мало ефективний. Для розв`язування системи (1) із трьох рівнянь треба виконати 51 операцію, а для системи із п`яти рівнянь-2885 операцій. Програмування розв`язку систем порядку вище третього по правилу Крамера неможливе. Далі розглядаються методи, що дозволяють значно швидше розв`язувати системи лінійних рівнянь.
3. Звичайні Жорданові виключення.
Нехай розглядається система
(і= ). (1)
із m лінійних форм з n невідомими змінними Систему (1) можна записати у вигляді таблиці
= … …
…………………..
= … … (2)
……………………
= … …
Нехай потрібно виразити змінну х з r-го рівняння системи (1), а потім підставити одержану рівність у всі останні рівняння системи. Таке перетворення системи (1) називається кроком жорданового виключення з ключовим елементом а . Це перетворення добре виконувати, користуючись таблицею (2), яка потім переходи в таблицю (3) по наступному правилу:
1. Ключовий елемент заміняється одиницею(над ключовим стовпчиком записується , а у ключовому рядочку х ).
2. Решта елементів ключового стовпчика залишаються без змін.
3. Решта елементів ключового рядочка міняють лише свої знаки.
4. Елементи, що не належать ключовому рядочку чи стовпчику, обчислюються по формулі (i r, j s).
5. Всі елементи нової таблиці діляться на ключовий елемент а , що в (3) зображено символічно діленням всієї таблиці на а :
(:а ) (3)
Наприклад, для таблиці
один крок жорданових виключень з ключовими другим рядочком і третім стовпчиком, тобто міняються ролями змінні у і х приводять , до таблиці
(:2). І кінцево до таблиці .
Для розв`язування системи з n лінійних рівнянь з n невідомими, визначник якої не рівний нулю, можна вказати різні варіанти застосування Жорданових виключень.