1. Постановка задачі

    2. Метод Крамера

    3. Звичайні Жорданові виключення

    4. Метод Жордана-Гауса

    5.Метод Гауса

    6. Метод оберненої матриці

1. Постановка задачі. Розв`язування систем лінійних рівнянь являється однією із найважливіших задач, які часто зустрічаються як в прикладній математиці, так і в спеціальних загально інженерних дисциплінах.

2. Метод Крамера. Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

(1)

В загальному курсі вищої математики розглядається розв`язування системи (1) по методу Крамера (з допомогою визначників).

ПРИКЛАД: Розв`язати систему рівнянь

.

(2)

Якщо , то система або не має розв`язку, або має нескінчену множину розв`язків.

Система лінійних рівнянь n–го порядку в загальному випадку описується наступним виглядом:

(3)

Числа являються коефіцієнтами системи, причому перший індекс відповідає номеру і рівняння системи, а другий індекс j- номеру невідомого х , при якому стоїть цей коефіцієнт. Так, наприклад, а - коефіцієнт в третьому рівнянні системи (3) при невідомому х .

Систему (3) можна розв`язувати по правилу Крамера (2). Однак цей метод потребує дуже громіздких обчислень і тому мало ефективний. Для розв`язування системи (1) із трьох рівнянь треба виконати 51 операцію, а для системи із п`яти рівнянь-2885 операцій. Програмування розв`язку систем порядку вище третього по правилу Крамера неможливе. Далі розглядаються методи, що дозволяють значно швидше розв`язувати системи лінійних рівнянь.

3. Звичайні Жорданові виключення.

Нехай розглядається система

(і= ). (1)

із m лінійних форм з n невідомими змінними Систему (1) можна записати у вигляді таблиці

= … …

…………………..

= … … (2)

……………………

= … …

Нехай потрібно виразити змінну х з r-го рівняння системи (1), а потім підставити одержану рівність у всі останні рівняння системи. Таке перетворення системи (1) називається кроком жорданового виключення з ключовим елементом а . Це перетворення добре виконувати, користуючись таблицею (2), яка потім переходи в таблицю (3) по наступному правилу:

1. 1.       Ключовий елемент заміняється одиницею(над ключовим стовпчиком записується , а у ключовому рядочку х ).

2. 2.       Решта елементів ключового стовпчика залишаються без змін.

3. 3.       Решта елементів ключового рядочка міняють лише свої знаки.

4. 4.       Елементи, що не належать ключовому рядочку чи стовпчику, обчислюються по формулі (i r, j s).

5. 5.       Всі елементи нової таблиці діляться на ключовий елемент а , що в (3) зображено символічно діленням всієї таблиці на а :

(:а ) (3)

 

Наприклад, для таблиці

 

один крок жорданових виключень з ключовими другим рядочком і третім стовпчиком, тобто міняються ролями змінні у і х приводять , до таблиці

(:2). І кінцево до таблиці .

Для розв`язування системи з n лінійних рівнянь з n невідомими, визначник якої не рівний нулю, можна вказати різні варіанти застосування Жорданових виключень.