Правило трёх сигм

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.

            Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

 

            Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

            Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

            Это правило называется правилом трех сигм.

            Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

            Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

            Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

            Получаем:

39. Неравенство Чебышёва

Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание μ и дисперсия σ² конечны. Тогда

,

где a > 0.

Если a = kσ, где σ — стандартное отклонение и k > 0, то получаем

.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на 2 стандартных отклонения с вероятностью меньше 25%. Она отклоняется от среднего на 3 стандартных отклонения с вероятностью меньше 11%.

Неравенство Маркова ( из этого неравенства следует н. Чебышёва)

Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить определенное представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание конечно. Тогда

,

где a > 0.

Пример

Пусть — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв a = 1, получаем

.

40. Закон больших чисел. Теорема Чебышева

(Чебышев Пафнутий Львович (1821 – 1824) – русский математик)

            Теорема. (Неравенство Чебышева) Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше чем .