7.2.4. Частотный критерий Найквиста.
Критерий Найквиста – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости САУ, замкнутой единичной обратной связью, по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.
Для формулировки критерия рассмотрим САУ, которая в разомкнутом состоянии характеризуется передаточной функцией вида
,
где
–
некоторые полиномы от
,
причем степень знаменателя выше или
равна степени числителя.
Знаменатель этого выражения является характеристическим полиномом разомкнутой САУ. Передаточная функция такой системы, охваченной 100% отрицательной обратной связи, определяется как
,
где
–
характеристический полином замкнутой
систем.
Обратное этому выражение определяется как
.
Обозначим корни характеристического
уравнения разомкнутой системы –
.
Корни характеристического уравнения
замкнутой системы обозначим как —
.
В плоскости корней, каждый корень может
быть представлен вектором, проведенным
из начала координат. Если выбрать
значение независимой переменной
в
произвольной точке комплексной плоскости,
то комплексное число вида
может
быть представлено в виде разностного
вектора, как показано на рис. 4.
Рис. 4. Графическое представление разности векторов
Если , то разностный вектор будет иметь свое начало в точке окончания вектора , а окончание – на мнимой оси. В этом случае выражение для обратной передаточной функции замкнутой САУ можно представить как
При изменении частоты от до будет скользить по мнимой оси и повернется на угол . Поворот будет происходить против часовой стрелки, если корень лежит слева от мнимой оси, и по часовой стрелке, если корень расположен в правой полуплоскости. Числитель и знаменатель этого выражения могут быть представлены как некоторые вектора, модуль которых равен произведению модулей сомножителей, а угол поворота – как сумма углов поворота векторов сомножителей. Поэтому можно записать, что
Таким образом полный угол поворота
рассматриваемого вектора при изменении
частоты от
до
равен
разности углов поворота векторов
и
.
Для САУ устойчивой в разомкнутом
состоянии все корни характеристического
полинома лежат в левой полуплоскости.
Поэтому суммарный угол поворота вектора
знаменателя при изменении частоты от
до
равен
n
.
В общем случае характеристический
полином замкнутой САУ имеет
корней
в правой полуплоскости и
корней
в левой полуплоскости. Поэтому суммарный
угол поворота вектора числителя при
изменении частоты от
до
равен
или
.
Суммарный угол поворота вектора
будет
определяться как
.
Для устойчивой САУ все корни
характеристического полинома должны
располагаться в левой полуплоскости,
то есть
.
Следовательно суммарный угол поворота
вектора устойчивой системы при
рассмотренных ранее условиях равен
нулю. То есть будет выполняться условие
.
При выполнении этого условия вектор будет располагаться справа от мнимой оси. Этот вектор определяется АФЧХ разомкнутой САУ, но его начало находится в точке (–1,j0). Исходя из этого, формулируется критерий устойчивости Найквиста.
Формулировка критерия. САУ устойчива в замкнутом состоянии, если годограф АФЧХ устойчивой разомкнутой системы не охватывает точки с координатами (-1, j0) на комплексной плоскости. Эта формулировка справедлива как для статических, так и астатических САУ, то есть систем, характеристическое уравнение которых содержит нулевой корень той или иной степени кратности.
На рис. 5 приведены АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ.
Устойчивые САУ Неустойчивые САУ
Рис. 5. АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ