6. Элементы теории четырехполюсников

6.1. Основные определения. Уравнения и параметры четырехполюсника

Т еория четырехполюсников – это один из способов описания электрической цепи, когда схема электрической цепи может быть неизвестна. В теории четырехполюсников электрическую цепь заменяют «черным ящиком» с четырьмя выводами, два из которых являются входными (1, 1¹), а два других – выходными (2, 2¹) (рис. 6.1).

Р ежим работы цепи и все ее параметры известны (можно рассчитать), если известны входные и выходные токи и напряжения. При этом:

U ₁, I₁ – напряжение и ток на входе;

U ₂, I₂ – напряжение и ток на выходе.

Теория четырехполюсников позволяет описывать электрическую цепь, для которой известны две из этих четырех величин и параметры четырехполюсника, определенные в режиме короткого замыкания и холостого хода на входе и выходе цепи. Две известные величины называют воздействием, обозначим их Х₁, Х₂ (это независимые переменные), а две другие откликом, обозначим их Y₁, Y₂ (это зависимые переменные, т. е. функции).

Уравнения, устанавливающие связь между откликами и воздействиями, называют основными уравнениями четырехполюсника. В общем виде их можно записать как две некоторые функции f₁ и f₂ от (х₁ и х₂), однако для линейных цепей в соответствии с принципом суперпозиции эти функции обращаются в линейную комбинацию переменных (х₁ и х₂):

Коэффициенты L_11, L₁₂, L₂₁, L₂₂, входящие в основные уравнения четырехполюсника, называются параметрами четырехполюсника. В зависимости от того, что считать воздействием (аргументами) Х₁, Х₂ и что откликом (функциями) Y₁, Y₂ (таблица), можно записать шесть пар основных уравнений четырехполюсника.

Система параметров	1	2	3	4	5	6
Воздействие	İ1, İ2	U 2, U1	İ 1, U2	İ 2, U1	U 2, İ’2	U 1, İ’1
Отклик	U 1, U2	İ1, İ2	İ 2, U1	İ 1, U2	U1, İ1	U 2, İ2
Параметры	Z	Y	H	G	A	B

На рис.6.1 показаны направления токов и напряжений, принятые за положительные в системах параметров Z, Y, H и G. В системе A-параметров положительным считается вытекающий выходной ток , в системе B-параметров положительным считается втекающий входной ток .

Параметры четырехполюсника можно пересчитать из одной системы в другую. Выбор конкретной системы определяется особенностями решаемой задачи, а также удобством измерения.

6.2. Z-параметры четырехполюсника

Связь между напряжениями, токами и Z-параметрами получают из уравнений U₁ = f₁(I₁, I₂), U₂ = f₂(I₁, I₂). Если считать четырехполюсник линейным, то в силу принципа суперпозиции функции представляют собой линейную комбинацию аргументов, т. е.

(6.1)

Коэффициенты, входящие в эти уравнения, имеют размерность сопротивлений и называются Z-параметрами, а сами уравнения – уравнениями четырехполюсника с Z-параметрами. Эти параметры имеют следующие названия:

– входное сопротивление при режиме холостого хода (х.х.) на выходе;

– сопротивление обратной передачи при холостом ходе на входе;

– сопротивление прямой передачи при холостом ходе на выходе;

– выходное сопротивление при холостом ходе на входе.

В общем случае при наличии в схеме реактивных элементов эти сопротивления являются комплексными.

Полученную систему уравнений можно записать в матричной форме:

(U) = (Z) (I),

где ( I ) = (I₁, I₂)^т – матрица-столбец заданных токов, ( U ) = (U₁, U₂)^т – матрица-столбец напряжений на выводах четырехполюсника;

– матрица сопротивлений четырехполюсника.

Аналогично можно записать и остальные уравнения четырехполюсника, например Y-параметры. Основные уравнения четырехполюсника в Y-параметрах записываются как

,

а Y-параметры имеют следующие названия:

– входная проводимость в режиме короткого замыкания на выходе;

– проводимость обратной передачи в режиме короткого замыкания на входе;

– проводимость прямой передачи при коротком замыкании на выходе;

– выходная проводимость в режиме короткого замыкания на входе.

Причем , так как они определены при разных режимах.

Параметры различных систем уравнений, относящиеся к одному четырехполюснику, взаимосвязаны, т.е. любой из параметров одной системы уравнений (например, Z-параметры) может быть выражен через параметры другой системы (например, Y, H, G и т.д.). Кроме того, все параметры четырехполюсника связаны с функциями цепи.